[发明专利]基于绝对高斯曲率估计的保持几何特征的点云简化方法

权利要求书

1.基于绝对高斯曲率估计的保持几何特征的点云简化方法，其特征在于，包括以下步骤：

首先，在点云局部用主成分分析估计每一点的切空间和单位法向量，并确定局部定向和全部定向；其中，分析估计每一点的切空间和法向量的具体方法为：

设点云数据X取样与一个二维曲面M，x_i是X中一点，其K近邻点为x_i1,…,x_ik，则x_i1-x_i,…,x_ik-x_i充分靠近x_i处的切空间

为计算切空间的基底，考虑如下的优化问题：

定义矩阵：

T_i＝[x_i1-x_i,…,x_ik-x_i] (3)

则优化的目标函数实际为：

由此将问题划归为求得矩阵T_i的主成分，即，求矩阵的两个最大特征值对应的特征向量；矩阵最小特征值对应的特征向量是x_i处的单位法向量，单位法向量通过两个切向量做向量积求出；

然后，用K近邻选出每一点的邻域，在该邻域内用最小二乘法估计出魏因加藤矩阵，通过该矩阵的行列式求出每一点的绝对高斯曲率，具体方法如下：

令M是嵌入在三维欧氏空间中的一个二维光滑曲面，n是曲面上的光滑法向量场，高斯映射g将曲面上的每一点p映射到其法向量n_p：

g:M→S²,g(p)＝n_p (5)

其中，S²是三维欧氏空间中的单位球面；

令p是曲面M上一点，r＝r(u,v)是p处的局部参数化，过点p的参数曲线定义为γ(t)＝r(u(t),v(t))，其切向量为γ′(0)；点p处的切空间T_pM是所有这样的切向量的集合；由链式法则：

因此，T_pM是由和张成的二维向量空间；由于高斯映射是M到球面S²的光滑映射，其切映射dg_p:是两个切空间上的线性映射，n_p与切空间T_pM和均正交，从而将T_pM和等同；魏因加藤映射在p处定义为W_p＝-dg_p，则W_p是T_pM上的线性变换；

更进一步：

即，W_p是T_pM上的自伴算子有实特征值并且实对角化；

设p是曲面M上一点，q是与p相近的点，记两个向量的差为Δr＝q-p，若n_p和n_q分别是p和q处的单位法向量，记两个法向量之差为Δn＝n_q-n_p，令P:R³→T_pM是正交投影算子，在p处，高斯映射有泰勒展开：

P(Δn)＝dg_p(P(Δr))+O(||Δr||²) (9)

固定T_pM的一组单位正交基e₁,e₂，设G是切映射dg_p在基下的矩阵表示，即：

dg_p[e₁,e₂]＝[e₁,e₂]G (10)

根据泰勒展开，有如下公式成立：

在点x_i处有矩阵：

T_i＝[x_i1-x_i,…,x_ik-x_i] (12)

定义矩阵：

N_i＝[n_i1-n_i,…,n_ik-n_i] (13)

同时，记e_i1,e_i2是切平面的单位正交基，有如下投影矩阵：

考虑下面的优化问题：

argmax_G||B-AG||² (15)

用最小二乘法给出问题的闭式解，如果矩阵A^tA满秩，则

G＝(A^tA)^-1A^tB (16)

如果A^tA奇异，将A^tA视为可逆矩阵，由定义，魏因加藤矩阵W＝-G；

将W对角化后得到的特征值即为该点的主曲率，W的行列式即为该点处的高斯曲率，W的迹的一半即为该点处的平均曲率；

最后，通过绝对高斯曲率设置每个聚类种子的规模，通过类中取平均的方法得到简化后的点云。