[发明专利]一种基于非梯度拓扑优化的声学超材料设计方法

权利要求书

1.一种基于非梯度拓扑优化的声学超材料设计方法，其特征在于，包括以下步骤：

S1：将时间域声学超材料中弹性波的波传导问题转换为频率域下微结构的弹性波的广义特征值问题，即将时间域的波传导方程转化为频率域的广义特征值方程(K(k)-ω²M)U＝0；采用平面应变单元对声学材料单胞进行离散，得到离散后的微结构总体刚度矩阵和总体质量矩阵；

公式中字母指代为：r＝{x,y}表示位置向量；ρ(r)表示材料密度；U和分别表示沿坐标轴x，y和z方向的位移和加速度向量；λ(r)和μ(r)表示随位置变化的拉梅系数；k表示平面波矢；K(k)表示与平面波矢相关的周期单胞总体刚度矩阵；M表示周期单胞的总体质量矩阵；ω表示圆频率；

S2:基于Floquet–Bloch定理，在步骤S1中建立的广义特征值方程中引入周期性边界条件，其中，U_k(r)表示与位置向量r有相同周期性的周期位移场；基于有限元方法对微结构的特征值问题进行离散；

S3:对步骤S2中离散的声学超材料单胞内材料分布与等效材料属性进行表征与映射；基于材料场级数展开策略，引入材料场函数和距离相关函数C(r_i,r_j)描述单胞内部材料分布；利用级数展开降维技术，将声学超材料单胞内的材料分布用M个独立设计变量ξ＝{ξ₁ ξ₂…ξ_M}^T进行表征；进而，引入RAMP材料插值模型，建立单元相对密度与材料等效杨氏模量的映射关系；

S4：对步骤S3中声学超材料微结构的广义特征方程求解中，设置不同大小的平面波矢量k的入射波对简约布里渊区边界进行扫略，在简约布里渊区的ГXM边界等距选取0度、45度、90度波矢各5组，通过求解任意可能的波矢k求解广义特征值问题(K(k)-ω²M)U＝0；计算声学超材料的能带结构，并得到指定阶频率对应的带隙ω_j(k_i)，式中，k_i表示选取的第i个代表性平面波矢量，ω_j(k_i)表示在指定平面波矢量k_i下单胞的第j阶特征圆频率；

S5：根据步骤S4中带隙计算结果，以ξ＝{ξ₁ ξ₂…ξ_M}^T为设计变量，建立全带隙或方向性带隙的声学超材料拓扑优化模型：

(1)若指定第j阶和j+1阶的全带隙为目标，建立全带隙拓扑优化问题模型：

s.t.(K(k)-ω²M)u＝0

ξ^TW_iξ≤1,(i＝1,2,…,N_P).

式中，f_F(ξ)为全带隙目标函数；N_P为总观察点个数；W_i为与第i个观察点相关的特征矩阵；n_k为简约布里渊区边界的计算点个数；

(2)若指定第j阶和j+1阶的方向性带隙为目标，建立局部带隙拓扑优化问题模型：

s.t.(K(k)-ω²M)u＝0

ξ^TW_iξ≤1,(i＝1,2,…,N_P).

式中，f_P(ξ)为0度方向方向性带隙目标函数；g_P为45度方向性通带约束函数；S6:利用乘子法将步骤S5中所提的全带隙或方向带隙的约束优化问题转化为无约束优化问题：

For loop＝1,2,......

find ξ＝{ξ₁ ξ₂…ξ_M}^T

式中，loop为子优化问题个数；f_obj(ξ)为所求子优化问题目标函数；f(ξ)为原优化问题目标函数；p₀为将有约束优化问题转化为无约束优化问题的罚函数乘子；Ω_k为子优化问题的可行域；

采用自适应设计空间调整策略，限制声学超材料单胞的材料布局单次优化更新的变化程度，基于序列Kriging代理模型优化算法求解步骤S6中的优化模型，直至优化问题收敛。