[发明专利]一种无网格法的二维分形目标体频域电磁数值模拟方法

权利要求书

1.一种无网格法的二维分形目标体频域电磁数值模拟方法，其特征在于，包括以下步骤：

1)、基于分形目标体的电导率模型，通过波数域与空间域的映射关系，构建空间分数阶电导率模型；

2)、通过分数阶算子变换，将电导率的空间分数阶运算转换为分数阶拉普拉斯算子，从而获得空间分数阶电磁扩散方程；

3)、将分数阶拉普拉斯算子展开成分数阶微分形式，采用Caputo分数阶导数，将分数阶微分进行空间离散；

4)、采用径向基点插值无网格法，将电场的二阶偏微分运算转换为形函数的二阶偏微分插值，完成对Caputo分数阶中微分项的离散；

5)、采用高斯数值积分法，将积分运算转换为高斯数值积分累加，完成对Caputo分数阶中积分项的离散，使得分数阶扩散方程最终转变为关于电场的线性方程组；

6)、在计算区域内合理配置无网格法计算点和节点，设置无网格法形函数参数、高斯积分参数和电磁参数，加载诺依曼边界条件，施加人工电流源，采用LU分解法求解大型稀疏线性方程组；

7)、改变发射电流频率和分数阶的阶数，提取电场实部和虚部响应，计算视电阻率，进行成图，对结果进行分析处理；

其中步骤1)中，分形目标体的电导率模型为：

其中，φ是分形目标体的孔隙度，D_E是欧式维数，在二维中D_E＝2，D_f是孔隙的分形维数；

假设p是波数p域，令p＝φ，则波数p域的电导率模型为：

σ_p＝p^α (2)

其中α＝D_E-D_f，映射于空间域电导率模型为：

其中，D为分数阶算子，α为分数阶的阶数，v表示x,y或z方向，σ_v为传统电导率，σ_α,v是α阶电导率，当α＝0时，电导率退化为传统电导率；

进一步地，将分数阶电导率表达式代入到电场的扩散方程中，得到：

其中为拉普拉斯算子；

其中步骤2)中，在分数阶算子D_v^-α的作用下，(4)转化为电场的分数阶扩散方程，其表达式为：

其中s＝1-0.5α，一般情况下0.5s1，认为传统电导率为各向同性，即σ_x＝σ_y＝σ_z＝σ；

其中步骤3)中，取xoz二维平面，在y方向无限长电流源的作用下，只含有y方向的电场E_y，则二维分数阶微分的形式为：

进一步地，采用左侧和右侧Caputo分数阶定义将分数阶微分展开，左侧Caputo分数阶导数表达式为：

右侧Caputo分数阶导数表达式为：

其中^CD为Caputo分数阶算子，x为自变量，axb，f(x)为对应的函数，f⁽ⁿ⁾为n阶导数，Γ为gamma函数，β为分数阶的阶数，n-1βn，n为正整数，此处β＝2s，n＝2；

将Caputo分数阶导数代入到(6)中并加入源项，得到完整的频率域空间分数阶二维电场扩散方程表达为：

其中J_sy为y方向的电流源密度，a为x方向积分下限，b为x方向积分上限，p为z方向积分下限，q为z方向积分上限；

其中步骤4)中，径向基函数无网格法的表达式为：

其中E_yi～E_yn是计算点E_y附近n个电场值，φ_i～φ_n为对应的径向基点插值形函数；将无网格法表达式代入到(9)中，结果为：

其中φ_xi⁽²⁾为插值形函数对x求二阶偏导，φ_zi⁽²⁾为插值形函数对z求二阶偏导；

其中步骤5)中，先通过坐标变换将积分区间转化到单位子单元，以(11)中第一个积分为例，令得：

进一步地，高斯数值积分公式为：

其中η_k为高斯积分点，A_k为权系数，将高斯数值积分代入到(12)中，结果为：

最终控制方程将变为线性方程组，即：

KU＝P (15)

式中K为大型稀疏矩阵，U为电场列向量，P为源项，仅在含源处为电流I，其余位置为0。