[发明专利]一种基于动态球B样条曲线的三维动态几何建模方法

权利要求书

1.一种基于动态球B样条曲线的三维动态几何建模方法，其特征在于，包括以下步骤：

所述三维动态几何建模方法包括以下步骤：

步骤1，使用ρ_i，r_i表示球B样条曲线的第i个控制球，使用N_i，p(u)表示次数为p的第i个B样条基函数，则球B样条曲线被定义为下式(1)：

步骤2，式(1)为隐式的几何表达式，为便于对球B样条曲线的数学性质进行分析，使用显式的球B样条曲线的表达式；

步骤3，使用表示球B样条曲线在时刻t时的第i个控制球，对于时刻t所有的控制球表示为下式(4)：

其中，p(t)为时间参数t的函数，在时刻t，一条球B样条曲线由p(t)唯一确定，在拉格朗日函数中，p(t)为广义坐标；

步骤4，动态球B样条曲线是球B样条曲线在时间域上的推广，在球B样条曲线的几何表达式中加入时间参数t后，动态球B样条曲线的数学表示为下式(5)：

其中，c′(u，t)和r′(u，t)分别表示为和

步骤5，使用p_i(t)表示物理系统的广义坐标的第i个分量，使用p(t)表示物理系统的广义坐标，使用表示广义坐标关于时间参数t的导数，省略所有的时间参数t，得到下式(6)：

步骤6，使用T、U和D分别表示系统的动能、势能和Raleigh耗散能，使用f_i表示作用在第i个广义坐标p_i的广义外力，则拉格朗日函数式表示为下式(7)：

其中，T、U和D均为广义坐标p及其关于时间的导数的函数，f_i为时间t的函数；

步骤7，将上式(7)表示为矩阵形式，则有下式(8)：

其中，其他项类同；

步骤8，对于一个动态球B样条系统，使用μ(u，v)和M(p)分布表示其质量密度分布函数和质量矩阵，省略函数参数后，系统动能T表示为下式(9)：

质量矩阵M(p)表示为下式(10)：

步骤9，使用γ(u，v)和D(p)分布表示阻尼密度分布函数和阻尼矩阵，省略函数参数后，耗散能D能够与阻尼矩阵D(p)分别表示为下式(11)、(12)：

步骤10，计算动态球B样条曲线的势能U，使用α(u，v)、β(u，v)和K(p)分别表示系统的局部张力函数、刚度函数和刚度矩阵，省略函数参数后，系统势能U表示为下式(13)：

刚度矩阵K(p)表示为下式(14)：

其中，带有下标的Jacobian矩阵J表示J关于参数u和v的偏导数；

步骤11，系统的广义外力f_p能够根据虚功原理得到，使用f(u，v，t)表示系统的外力分布函数，则系统广义外力f_p能够表示为以下公式(15)：

步骤12，根据以上的推导，在动态球B样条曲线系统中，拉格朗日函数式(7)表示为下式(16)：

步骤13，根据动态球B样条曲线的数学性质，对上式(16)进行简化，得到简化的动态球B样条曲线运动方程式(17)：

其中，

步骤14，线性几何约束表示为下式(18)：

C(p)＝Ap+b＝0……(18)，

其中，p为系统的广义坐标；

步骤15，当系统存在M个独立的线形几何约束，且p包含N个分量，则A为一个M×N的矩阵，b为一个常向量，同时，广义坐标p表示为下式(19)：

p＝Gq+q₀……(19)，

其中，G为一个M×(N-M)的矩阵，q₀是一个常向量，q表示系统新的广义坐标，其分量个数为N-M，系统新的广义坐标q由高斯消元法求得；

步骤15，根据上式(19)，获得以下带有线性约束的动态球B样条曲线的运动方程式(20)：

式(20)中的各项分别表示为下式(21)：

其中，L＝JG为s关于q的雅克比矩阵；

步骤16，为了求解动态球B样条曲线的运动方程，使用有限差分法对雅克比矩阵J的一、二阶偏导数进行近似求导，如下式(22)：

其中，式(22)使用的差分近似方法为中心差分，对于网格边界上的节点，使用对应的前向差分或者后向差分方法；

步骤17，动态球B样条曲线的运动方程式(17)为一个二阶偏微分方程，通常情况下，式(17)没有解析解，为了求解动态球B样条曲线的运动方程，与参数域上的有限差分法类似，在时间域上，使用差分对和进行近似，给定特定的物理参数，动态球B样条曲线系统运动方程式(17)成为一个刚性系统，使用隐式Euler方式对时间积分进行近似，得下式(23)：

步骤18，根据式(23)、动态球B样条曲线的运动方程式(17)以及动态球B样条曲线的数学式性质，推导出动态球B样条曲线运动方程的离散化式(24)：

步骤19，式(24)中，没有上标说明的物理量取其在(t+Δt)时刻的值，为了对式(24)进一步简化，对于式(24)中的矩阵物理量，使用在时刻t的值对其在时刻(t+Δt)的值进行近似，得下式(25)：

步骤20，对于带有线性几何约束的动态球B样条曲线的运动方程，推导出与其对应的离散化形式的式(26)：

当给定合适的物理参数时，动态球B样条曲线系统运动方程式(17)成为一个非刚性系统，在这种情况下，动态球B样条曲线的离散化形式(式(24)和式(26))则使用显式Euler方法进行简化。