[发明专利]一种基于弦长二分法的二次Bezier曲线插值方法

说明书

本发明公开了一种基于弦长二分法的二次Bezier曲线插值方法，该方法首先利用二次Bezier曲线等分作图的思想，从等分作图拓展到二分作图的结论，构造出一批辅助点。其次，通过对辅助点的规律进行总结归纳，得出在二次Bezier曲线下的辅助点计算公式。最后，利用已知点及已知点所形成的弦长关系，求解构造二次Bezier曲线特征多边形的顶点，从而对已知点进行插值。实验结果表明，通过弦长的关系能够很好的保留插值点之间的形状，所构造的曲线能够更好的插值已知点；并且从三点插值拓展到多点插值，可实现曲线之间的光顺链接。

技术领域

本发明涉及计算机图形学领域，具体是一种基于弦长二分法的二次Bezier曲线插值方法。

背景技术

Bezier曲线是一种以逼近为基础的参数曲线和曲面的设计方法。该方法用Bernstein多项式作为基函数，将函数逼近同几何表示结合起来，有着方便于曲线和曲面设计的性质，且易于编码实现。经过不断的发展，在一些大型的船舶、飞机和汽车外形的设计中都以Bezier曲线作为主体设计。Bezier曲线在各种CAD系统、计算动画、实体造型、三维变换中都有着广泛的应用。一般来说，Bezier曲线段可以拟合任何数目的控制点。

插值就是给定n个顶点，要求把这n个顶点链接称为平滑的曲线。现有的插值方法有：任意多项式插值、分段插值多项式、样条函数插值等方法。而在构造一条插值光顺样条曲线时，除了要选择使用一种具体插值参数样条曲线方法外，还需要根据具体情况构造首尾两点的初值条件。在游戏开发中，诸如动画系统。路径计算等等操作，都会遇到对数值进行插值的问题。由于Bezier曲线可由几个控制点绘制，所以在有限个点的条件下，Bezier可以满足插值的条件；保持在多条Bezier曲线在相连接处平滑即可保证得到一条整体光顺的曲线。在保证曲线的光滑连接下，若想要达到曲线形状更为贴合插值点，需要对构造曲线的参数进行修改。而当前使用较多的方法是，将曲线参数设置为1/2，在该条件下所绘制的曲线能够插值所给出的点，但却无法很好的表示插值点之间的距离关系和形状。

针对以上问题，本发明提出了一种基于弦长二分法的二次Bezier曲线插值方法。该方法从插值点之间的距离关系入手，将插值点之间的距离关系作为曲线的参数，从而对Bezier插值曲线的形状进行控制。总的来说，本发明能够在给定插值点的条件下，绘制出更符合插值点形状的插值曲线。

发明内容

解决的技术问题

本发明的目的在于提供一种基于弦长二分法的二次Bezier曲线插值方法，以解决现有插值方法无法较好贴合插值点，多插值点下曲线复杂度较高的技术问题。

技术方案

本发明采取的技术方案如下：

一种基于弦长二分法的二次Bezier曲线插值方法，包括如下步骤：

1)输入所需插值点Q0，Q1，…，Qn；

2)令Q0，Q2作为该特征多边形的首尾端点，链接Q0，Q1，Q2；令Q0，Q1的连线作为弦长l1，Q1，Q2的连线作为弦长l2；

3)根据弦长l1和l2构造二次Bezier所需的参数u，并使用Q1作为曲线上的点进行方程求解特征多边形顶点P；

4)通过弦长二分法及已知特征多边形顶点进行插值。

5)若插值点个数为3，则直接到步骤6)；若插值点个数大于三，则令n＝(n-1)/2，每隔一个点取一次首端点，重复步骤1)；

6)保留弦长二分法的作图步骤及所有顶点，并输出图像。

步骤3)中，由参数u及点p_k所构成的二次Bezier曲线如公式(1)所示：