[发明专利]一种板球系统的轨迹跟踪控制方法

权利要求书

1.一种板球系统的轨迹跟踪控制方法，其特征在于，包括以下步骤：

步骤1，建立板球系统的非线性数学模型；

步骤2，将板球系统的轨迹跟踪控制问题描述成一个非线性伺服控制问题；

步骤3，基于非线性输出调节理论，采用3阶多项式逼近调节器方程的解，设计3阶状态反馈控制器；

步骤1中，假设小球一直与平板接触，板球之间的滑动摩擦力忽略不计，则所述板球系统的非线性数学模型描述如下：

其中，(x,y),分别表示小球在平板上x轴与y轴方向的位移，速度，加速度，(α,β),分别表示平板在x轴与y轴方向的偏转角，偏转角速度，偏转角加速度，m表示小球的质量，(I_p,I_b)分别表示平板与小球的转动惯量，(τ_x,τ_y)分别表示施加在平板上的x轴方向的力矩与y轴方向的力矩，g表示重力加速度；

令

u＝[u₁,u₂]^T＝[τ_x,τ_y]^T

则系统(1)可写为如下形式

其中

η₃＝-mx₁x₅(-2mx₄x₅x₆-mx₂x₄x₅-mx₁x₄x₆-mgx₁cosx₈)

η₄＝-mx₁x₅(-2mx₁x₂x₄-mx₂x₅x₈-mx₁x₆x₈-mgx₁cosx₃)

步骤2中，将板球系统的轨迹跟踪控制问题描述成一个非线性伺服控制问题，其过程如下：

2.1，假设板球系统中小球在x轴与y轴方向的位移参考轨迹为两个正弦信号y_d1＝F₁sin(ω₁t+θ₁),y_d2＝F₂sin(ω₂t+θ₂)，此位移参考轨迹可由如下形式的外部系统产生：

其中v＝[v₁,v₂,v₃,v₄]^T，输出为y_d1＝v₁,y_d2＝v₃；

令λ_i(i＝1,2,3,4)为矩阵的特征值,容易验证λ_i均具有零实部，且外部系统(3)的平衡点v＝0是李雅普诺夫稳定的；

2.2，定义跟踪误差为

2.3,板球系统(2)、外部系统(3)和误差函数(4)可以被写为如下的紧凑形式：

其中F(x(t),u(t),v(t))描述如下：

此时板球系统的轨迹跟踪控制问题已被描述成一个非线性伺服控制问题，其控制目标是在保证闭环系统稳定的前提下设计控制器u使得小球位移跟踪上参考信号且稳态跟踪误差充分小；

步骤3中，基于非线性输出调节理论，采用3阶多项式逼近调节器方程的解，设计3阶状态反馈控制器，过程如下：

3.1，求板球系统的雅克比矩阵如下：

通过计算可以证明：

(1)是可镇定的，并且存在矩阵K,使得的特征值都具有负实部；

(2)其中n为系统状态变量的维数8，p为输出维数2，λ∈{λ|λ＝l₁λ₁+…+l₄λ₄,l₁+…l₄＝l,l₁…l₄＝0,1,2…l}，l＝1,2,3；

由2.1和3.1可知板球系统的3阶非线性输出调节问题是可解的，并且因为输入维数等于输出维数，调节器方程的解唯一；

3.2，求板球系统调节器方程的解，过程如下：

板球系统调节器方程具有如下形式：

其中

η₃(v)＝-mx₁(v)x₅(v)[-2mx₄(v)x₅(v)x₆(v)-mx₂(v)x₄(v)x₅(v)-mx₁(v)x₄(v)x₆(v)-mgx₁(v)cosx₈(v)]

η₄(v)＝-mx₁(v)x₅(v)[-2mx₁(v)x₂(v)x₄(v)-mx₂(v)x₅(v)x₈(v)-mx₁(v)x₆(v)x₈(v)-mgx₁(v)cosx₃(v)]

通过简单的计算可以得到调节器方程的部分解如下：

x₁(v)＝v₁

x₂(v)＝ω₁v₂

x₅(v)＝v₃

x₆(v)＝ω₂v₄

因为调节器方程的其他解的精确值不可得，因此采用多项式逼近法来获得其近似解，通过数学计算，可以得到其他的3阶近似解如下：

这里

d₁₀₀₀＝gm

3.3，设计3阶状态反馈控制器如下：

u＝u⁽³⁾(v)+K_x(x-x⁽³⁾(v)) (7)

其中

K_x＝[K₁,K₂]^T