[发明专利]一种约束优化问题的线性收敛分布式离散时间优化算法

权利要求书

1.一种约束优化问题的线性收敛分布式离散时间优化算法，其特征在于，包括以下步骤：

步骤1：对凸优化问题模型和最优性条件给出具体描述；

步骤2：基于梯度追踪框架设计平衡图上的分布式离散时间算法；

步骤3：引入两个时间尺度对平衡图上的分布式离散时间算法进行收敛性分析；

步骤4：基于行随机矩阵关于特征值1的左特征向量估计方法，设计非平衡图上的分布式离散时间算法；

步骤5：使线性矩阵不等式相关矩阵的谱半径严格小于1，得到非平衡图上的分布式离散时间算法的严格收敛性。

2.根据权利要求1所述的约束优化问题的线性收敛分布式离散时间优化算法，其特征在于，所述步骤1中凸优化模型和最优性条件具体为：

凸优化模型：

其中s是的决策变量，Ω₀是上的闭凸集，f_i是节点i在上的局部凸目标函数，

接下来将对凸优化问题(1)的最优性条件做一个具体的描述：

s^*是凸优化问题(1)的最优值点当且仅当对于任意的正实数ν₀有

3.根据权利要求1所述的约束优化问题的线性收敛分布式离散时间优化算法，其特征在于，所述步骤2中平衡图上的分布式离散时间算法的设计具体为：

其中x_i(t)是节点i在t步的状态变量，y_i(t)是节点i在t步对全局目标函数梯度的估计，矩阵A是设计为双随机矩阵的关联于给定强连通平衡图的邻接矩阵，η0是一个固定步长，此外，初始值x_i(0)可以任意选择，

4.根据权利要求1所述的约束优化问题的线性收敛分布式离散时间优化算法，其特征在于，所述步骤3中平衡图上的分布式离散时间算法的收敛性证明的具体步骤为：

当步长满足则算法中的更新变量满足线性矩阵不等式

其中

若ρ(G₁′)1，则和将以线性的速率衰减到0，而为了使ρ(G₁′)＜1，需要要求矩阵G₁′的对角线元素都严格小于1，也就是需要2ρ′＜1，若对于给定的强连通图，无法找到一个可以满足2ρ′＜1的邻接矩阵A，则需要对算法做一些改进，这就需要引入两个时间尺度，包括一个快时间尺度m和一个慢时间尺度t，对于状态变量x_i(t)的更新，首先需要选取初始值x_i(m＝0,t)＝x_i(t)来运行关于快时间尺度m的迭代其中M是一个满足的正整数，然后运行相关于慢时间尺度t的迭代从而由可得因此可以得到

其中0＜ρ＜1为一个常数，为了方便后面的叙述，对于给定的强连通图，不失一般性假设存在一个正常数ρ使得02ρ′＝ρ＜1，相应地可以把矩阵G₁′调整为

令步长η满足则对于所有的i＝1,2,...,N，s_i(t)都以线性速率收敛到凸优化问题(1)的解。

5.根据权利要求1所述的约束优化问题的线性收敛分布式离散时间优化算法，其特征在于，所述步骤4中非平衡图上的分布式离散时间算法的设计具体为：

其中，A是设计为行随机矩阵的关于给定强连通有向非平衡图的邻接矩阵，z_i(t)是节点i在第t步对矩阵A的关于特征值1的左特征向量的估计，此外，对于所有的i＝1,2,...,N，选取初始值x_i(0)为任意的值，z_i(0)＝Ne_i，记由于A_ii0且对于所有的j≠i有A_ij≥0，则在给定的初始值条件下，可得对于所有的t≥0，有因此，是定义良好的。

6.根据权利要求1所述的约束优化问题的线性收敛分布式离散时间优化算法，其特征在于，所述步骤5中非平衡图上的分布式离散时间算法的收敛性证明的具体步骤为：

令步长满足则可以得到线性矩阵不等式

其中

且ρ＝2ρ′，

令Ω₀是一个紧集，此外，令选取的步长η满足

则所有的s_i(t)都以线性速率收敛到凸优化问题(1)的最优解。