[发明专利]一种约束优化问题的线性收敛分布式离散时间优化算法

说明书

本发明考虑了带有一个全局闭凸集约束的凸优化问题。本发明的目的是以分布式方法来解决所研究的优化问题，即只通过局部计算和局部信息交换的方式来获取优化问题的最优解。为此，分别在有向平衡图上和有向非平衡图上设计出了基于梯度追踪框架的分布式离散时间算法。由于经典投影法不适合处理梯度跟踪框架下的闭凸集约束，本发明采用一种新的间接投影法来处理所涉及的闭凸集约束。此外，还引入了两个时间尺度来完成收敛性分析，证明算法拥有线性收敛速率。本发明的一个重大创新是，找到了一个有效的闭凸集约束处理方法来和梯度追踪方法融合，率先在非平衡图上以带有线性收敛速率的分布式算法解决了带有约束的凸优化问题。

技术领域

本发明涉及多智能体系统的分布式优化技术领域，特别涉及一种约束优化问题的线性收敛分布式离散时间优化算法。

背景技术

多智能体系统的分布式优化问题就是只通过局部计算和局部信息交换来寻找问题一致最优解。

目前，随着对大规模约束优化问题的重视日益增加，对各种优化问题的研究也已经取得了许多优秀的成果。在已有的研究成果中，不仅采用了离散时间算法，还采用了连续时间算法。近年来，设计分布式连续时间算法来处理优化问题变得越来越普遍，对于连续时间算法，分析其收敛性比较方便，但也存在一些不足，如难以精确比较不同算法的收敛速度，难以在有向图和时变图上解决相关的优化问题。因此，有必要采用离散时间算法来解决这些问题。

但是，现有的离散时间算法所用的步长都是衰减的，所以收敛速度慢。为了加快算法的收敛速度，一些技术提出了带有固定步长的算法，并证明了算法具有线性收敛速度。然而，这些方法只考虑了带权平衡有向图的情形，为了将这些结果推广到权重不平衡的情况，一些技术提出了解决算法。但这些算法只考虑了无约束优化问题，在现实中，优化问题往往是有约束的。而一些结果针对约束优化问题给出了带固定步长的离散时间算法，虽然算法采用了固定步长，但却不能达到线性收敛速度。因此，本发明的目的是设计具有线性收敛速度的离散时间算法，以解决具有闭凸集约束的分布式约束优化问题。

发明内容

本发明主要考虑基于梯度追踪方法分别在有向平衡图和有向非平衡图上解决带有一个全局闭凸集约束的凸优化问题。

为了实现上述目的，本发明将通过如下的技术方案来实现：一种约束优化问题的线性收敛分布式离散时间优化算法，包括以下步骤：

步骤1：对凸优化问题模型和最优性条件给出具体描述；

步骤2：基于梯度追踪框架设计平衡图上的分布式离散时间算法；

步骤3：引入两个时间尺度对平衡图上的分布式离散时间算法进行收敛性分析；

步骤4：基于行随机矩阵关于特征值1的左特征向量估计方法，设计非平衡图上的分布式离散时间算法；

步骤5：使线性矩阵不等式相关矩阵的谱半径严格小于1，得到非平衡图上的分布式离散时间算法的严格收敛性。

具体如下：

1.凸优化问题和最优性条件：

本节考虑带有一个全局闭凸集约束的凸优化问题如下：

其中s是的决策变量。Ω₀是上的闭凸集。f_i是节点i在上的局部凸目标函数。为了方便叙述。在后续的分析中假设n＝1，同时将在后面的注释5来讨论n1时的情况。

为了后续分析方便，首先对优化问题的目标函数作一下假设。

假设1.对于所有的i＝1,2,...,N，函数f_i都在上α-强凸且L-光滑。

容易得到若假设1成立，则全局目标函数f也α-强凸和L-光滑。接下来。在f的α-强凸和L-光滑性质下。将给出下面的重要引理。