[发明专利]基于Givens正交相似变换的低频振荡分析方法

权利要求书

1.一种基于Givens正交相似变换的低频振荡分析方法，其特征在于：包括如下步骤：

S1：读取振荡信号，确定输入信号采样点数以及采样间隔；

S2：求解低频振荡Prony算法自回归模型的差分方程系数，根据差分方程系数形成高次方程对应的Hessenberg矩阵，记为矩阵H；

S3：通过基于Givens正交相似变换的二重QR算法求解矩阵H的特征值；

S4：根据矩阵H的特征值求解低频振荡各个主模式的衰减因子和频率；

S5：根据特征值形成雅克比矩阵，运用最小二乘法求解低频振荡各个主模式的幅值和相角；

步骤S3具体包括如下步骤：

S31：将矩阵H作为当前矩阵A；

S32：找出当前矩阵A的次对角线倒数第一个零元素的位置，得到当前矩阵的最后一个对角块-不可约准三角矩阵C，所述矩阵C为以所述零元素所在的行和列为分割线，行分割线下侧以及列分割线右侧的所有元素形成的当前矩阵的右下角子矩阵；

S33：判断所述对角块-不可约准三角矩阵C的阶数，如果矩阵C的阶数为1或2，则求出矩阵C的特征值，收缩当前矩阵A，并返回步骤S32，否则执行步骤S34；

S34：对当前矩阵A作基于Givens正交相似变换的二重QR变换，得到准三角矩阵B；

S35：将准三角矩阵B作为新的当前矩阵A，转至步骤S32，进行循环迭代运算，直到当前矩阵A的阶数收缩为零，即求出矩阵H的全部特征值为止；

步骤S34所述对当前矩阵A作基于Givens正交相似变换的二重QR变换得到准三角矩阵B的步骤为：

S341：确定一个相似变换矩阵G₀，对矩阵A作相似变换：所述相似变换矩阵G₀用于化第一列为上三角形，为矩阵A到准三角矩阵B的二重QR变换矩阵：

B＝Q^TAQ

其中Q是正交矩阵，R是上三角矩阵，I是单位矩阵，原点位移μ₁和μ₂是A的右下角2×2阶子矩阵的特征值；

S342：继续利用Givens变换构成多个新的相似变换矩阵G₁，G₂，…，G_i，…，G_n-2

通过n-2次Givens变换

化矩阵B₁为准三角矩阵B；

各相似变换矩阵之间的关系为：Q^T＝G_n-2…G₁G₀；

步骤S341所述相似变换矩阵G₀的确定方法为：

第一步，矩阵A的右下角二阶子矩阵的特征值为μ₁和μ₂，令δ＝μ₁+μ₂，ρ＝μ₁μ₂，则有

矩阵的第一列只有前三个元素非零，设该列为X₀＝(p₀,q₀,r₀,0,…,0)^T，根据以下公式求出X₀的非零元：

第二步，利用Givens变换矩阵G₀₁，通过G₀₁X₀消去元素q₀，将X₀变为X′₀；

所述变换矩阵G₀₁为

其中，I_n-2为n-2阶单位矩阵；

计算结果为X′₀＝(p₁,0,r₀,0,…,0)^T；

第三步，利用Givens变换矩阵G₀₂，通过G₀₂X′₀消去元素r₀；

所述变换矩阵G₀₂为

其中，I_n-3为n-3阶单位矩阵；

所述变换矩阵G₀₁和变换矩阵G₀₂之间的关系为：G₀＝G₀₂G₀₁。

2.如权利要求1所述的基于Givens正交相似变换的低频振荡分析方法，其特征在于：步骤S4所述低频振荡各个主模式的衰减因子和频率的计算方法为：

其中，z_i为矩阵H的特征值对应的高次方程的特征根，Δt为采样间隔。