[发明专利]基于变分贝叶斯平行因子分解的缺失振动信号的恢复方法

权利要求书

1.基于变分贝叶斯平行因子分解的振动信号缺失的恢复方法，其特征在于，具体步骤如下：

1)通过便捷式动态信号采集器采集机械零部件的时域振动信号S；

2)通过分割采样点将采集的时域振动信号S构造成三维张量Y，步骤如下；

(1)设置时域振动信号S包含K个采样点，然后将信号分成不重叠的数据段，数据段的数量为Q，则每一个数据段包含了P＝K/Q个数据点；且分割成了列数为Q的矩阵X，如下式：

将矩阵X进行转置，得到转置矩阵X^T表示为：

(2)将转置矩阵X^T沿水平进行分割切片构造成三维张量Y；

Y(:,P,:)＝S(:,(1+(P-1)*Q):(P*Q))                (3)

式中，P＝1、2、3…N，而数值Q不变；

3)将三维张量Y进行平行因子分解，其过程如下：

(1)三维张量Y是一个N阶不完全张量，丢失的数据大小为I₁×I₂×...×I_N，Y_Ω表示被观察的数据(i₁,i₂...i_N∈Ω)，其中Ω表示元素的指标集；定义张量O如下式子：

(2)假设三维张量Y为一个真实潜在张量X的噪声观测值，即Y＝X+ε，ε为高斯白噪声，三维张量的平行因子分解为：

式中，表示向量的外积，为张量X对应的第n个模式因子矩阵，ε服从独立同分布的高斯分布，即：

由上式可知，对于第n个模式因子矩阵A⁽ⁿ⁾的表示形式如下式：

4)将分解后的三维张量Y结合贝叶斯方法，引入似然模型，表达式为：

式中：参数τ表示噪声精度，…表示N(N≥3)个向量的内积，表示A⁽ⁿ⁾的第i_n行的行向量；

5)有效利用因子矩阵的先验信息，引入有效精度的后验分布：

式中：Λ^-1＝diag(λ)表示矩阵方差的逆且依赖所有模式的因子矩阵；假设超参数λ是独立的，则先验概率函数如下：

式中：Ga(x|a,b)表示Gamma分布；同时设置噪声精度τ的先验概率函数：

P(τ)＝Ga(τ|a₀,b₀)                         (10)

6)采用贝叶斯方法处理该模型，推断出包括因子矩阵和超参数在内的所有未知数的参数Θ的后验分布为：

推出缺失信号Y_/Ω的分布预测：

p(Y_/Ω|Y_Ω)＝∫p(Y_/Ω|Θ)p(Θ|Y_Ω)dΘ           (12)

7)采用变分贝叶斯算法推导出因子矩阵和超参数的后验分布，从而进一步推断出缺失信号Y_/Ω的分布预测，其过程如下：

采用变分贝叶斯(VB)进行近似求解，通过极小化KL散度来寻找q(Θ)分布近似逼近真实的后验分布p(Θ|Y_Ω)，KL散度定义如下：

式中：lnp(Y_Ω)表示模型的证据因子为常数；被定义为模型因子的下界，记为L(q)；由于ln p(Y_Ω)为常数，当KL散度为0时，即q(Θ)＝p(Θ|Y_Ω)，取到式(13)中模型因子的下界的最大值；采用平均场近似理论，假设变分分布被分解为：

式中：q(Θ)是总体分布，则各个因子q_j(Θ_j)的函数形式可以依次推导出来；基于下界L(q)的最大化给出q(Θ)的第j个因子的优化形式为：

式中：表示除了Θ_j所有变量联合分布的期望，C为常数；所有变量的先验分布取自指数族且是共轭分布的，即得到未知数的后验分布；其中：

(1)因子矩阵A⁽ⁿ⁾的后验分布：

第n个模式因子矩阵A⁽ⁿ⁾的后验分布由观测数据信息和其他的第n个模式因子矩阵A^(k)(k≠n)的先验分布、超参τ的先验分布推出；由式(11)第n个模式因子矩阵A⁽ⁿ⁾(n＝1,…,N)的各行独立的服从高斯分布；因此，对于任意n∈{n＝1,…N}的A⁽ⁿ⁾的后验分布可分解为：

其中，后验参数通过下式更新：

式中：Y_(n)代表张量数据Y的第n个模式因子矩阵，V⁽ⁿ⁾为辅助矩阵，E_q[·]代表包含所有变量的后验期望；式中V⁽ⁿ⁾首先利用因子先验Ε_q[Λ]和其它因子矩阵的协方差更新，而因子先验和其它因子矩阵的协方差的权重通过Ε_q[τ]来调节；然后通过旋转，并根据Ε_q[τ]进行尺度变换；

(2)超参数λ的后验分布：

超参数λ的后验分布可由N个因子矩阵的信息和超参数λ的先验信息推导出；通过式(15)可知，每个λ_r(r∈{1,…,R})独立的服从Gamma分布，即其中R为张量的k秩，其中表示从M个观测数据得到的后验参数，且其更新公式如下：

(3)噪声精度τ的后验分布：

噪声精度τ的后验分布可由观测数据和其本身的超先验信息推导出；结合式(15)可知，噪声精度τ的变分后验分布服从Gamma分布，即q_τ(τ)＝Ga(τ|a_M,b_M)，后验参数a_M、b_M的更新公式如下：