[发明专利]基于三维全变分和Tucker分解的低秩张量补全方法

权利要求书

1.基于三维全变分和Tucker分解的低秩张量补全方法，其特征在于，包括以下步骤：

步骤1，利用MATLAB软件将高丢失率的破损视频文件读入，将其处理为三维张量张量大小为X×Y×M；

步骤2，张量补全的目标泛函中的核张量与因子矩阵由张量分解而来，因此不利于目标泛函的求解，需要引入3个辅助变量，即矩阵以及张量和张量这时目标泛函转变为公式(3)，

公式(3)中，调整参数λ₁和λ₂，平衡3DTV与低秩约束之间的权重，这里λ₁0，λ₂0，D_w为加权三维差分算子；

步骤3，利用增广拉格朗日公式对公式(3)进行优化，同时引入四个拉格朗日乘子Λ，φ，Ψ和以及增加收敛速度的调整参数此时，目标泛函变为公式(4)，同时初始化必要参数，迭代最大次数K，λ₁，λ₂，ε，四个拉格朗日乘子以及上述三个辅助变量，

步骤4，计算加权三维差分算子D_w(·)，同时为了更新张量需要求解公式(4)中涉及张量的部分，根据公式(5)可以求解张量

公式(5)中，S算子为对张量中每个元素进行收缩运算：

其中，.*为按元素相乘，ζ＝λ₁/ρ₁，|·|对张量中的每个元素求其绝对值，sign(·)为符号函数；

步骤5，同样利用公式(4)、公式(7)与公式(8)计算更新张量公式7为关于张量优化问题的线性方法，其中为D_w的伴随算子，由于拥有块状循环结构，它被三维的傅里叶变换矩阵所对角化，

公式(7)和公式(8)中，张量为单位张量，即张量每一个正切片均为单位矩阵，fftn与ifftn代表了三维快速傅里叶变换与其逆变换，|·|²为按元素平方，这里的除法同样也为按元素相除，D₁，D₂和D₃为加权三维差分算子D_w沿着张量三个不同维度的一阶微分算子；

步骤6，利用公式(4)与公式(9)计算更新矩阵这里D_α(A)＝Udiag{max((σ_i-α),0)}V^T是奇异值阈值算子，矩阵A的奇异值分解为Udiag{(σ_i)_{0≤i≤rank(A)}}V^T，其中，diag{(σ_i)_{0≤i≤rank(A)}}为对矩阵A的奇异值组成的对角矩阵，矩阵U和矩阵V为对矩阵A进行奇异值分解后的特征向量组成的矩阵，矩阵V^T为矩阵V的转置矩阵，

公式(9)中，令

步骤7，利用公式(4)中涉及矩阵的部分，同时根据公式(10)计算更新矩阵其中Ψ_n，Y_n和G_n为拉格朗日乘子Ψ，张量和张量分别沿着模式-n展开的二维矩阵，

公式(10)中，为kronecker积，矩阵I为单位矩阵，矩阵G_n^T和矩阵为矩阵G_n和矩阵X^(-n)的转置；

步骤8，利用公式(4)中涉及张量的部分，以及公式(11)计算更新需要补全的张量

步骤9，利用公式(4)和公式(12)计算更新核张量这里为核张量的矢量化操作，在计算出核张量的矢量化形式后，重建核张量

步骤10，利用公式(13)和公式(14)计算更新拉格朗日乘子Λ和ρ₁，同理可以更新φ，ψ，ρ₂，ρ₃和ρ₄，同时更新已经迭代计算的次数，

(ρ₁)^k+1＝μ(ρ₁)^k (14)

步骤11，重复上述步骤4至步骤10，直到k＝K，即达到最大迭代次数或者连续两次补全张量的相对误差小于给定的值ε，则表示张量补全任务已经完成，最后输出补全的张量