[发明专利]一种基于行与列同时低秩约束的磁共振波谱重建方法

权利要求书

1.一种基于行与列同时低秩约束的磁共振波谱重建方法，包括以下步骤：

(1)输入一个二维磁共振波谱信号的时空编码数据y和欠采样矩阵U，对于待重建的具有N个行向量和M个列向量的二维磁共振波谱信号X，其第n行中第m列的元素表示为x_n，m；

(2)针对X中第m列的向量x_m，构建其对应的汉克尔矩阵可表示为：

其中，表示将列向量转换为汉克尔矩阵的线性算符，L表示尺寸参数；

(3)针对X中第n行的向量xⁿ，构建其对应的汉克尔矩阵可表示为：

其中，表示将行向量转换为汉克尔矩阵的线性算符，K表示尺寸参数；

(4)采用非凸的h_ε范数约束构建的汉克尔矩阵的低秩特性，表示任意矩阵L的h_ε范数，其定义式为：

其中，σ_r为L的第r个奇异值，ε＞0是一个小常数；

(5)在利用h_ε范数同时约束X中行与列构建的汉克尔矩阵低秩特性的基础上，建立关于二维磁共振波谱的重建模型：

其中，F_M表示M×M大小的傅里叶变换矩阵，I_N表示N×N大小的单位矩阵，表示矩阵的克罗内克积算符，vec(·)表示将矩阵的各列依次堆叠成向量的算符，表示向量的二范数的平方，λ表示时空编码数据保真项的正则化参数；

(6)在重建模型中引入中间变量和并根据交替方向乘子法求解重建模型中各优化变量的子问题：

(6a)固定X和R_n，求解关于L_m的子问题：

其中，β表示惩罚参数，T_m表示针对L_m引入的拉格朗日乘子，表示矩阵的Frobenius范数的平方；

(6b)固定X和L_m，求解关于R_n的子问题：

其中，Z_n表示针对R_n引入的拉格朗日乘子；

(6c)固定L_m和R_n，求解关于X的子问题：

(7)在得到各优化变量的解后，更新拉格朗日乘子T_m和Z_n，以及惩罚参数β：

β＝τβ

其中τ＞1表示增长因子，重复步骤(6)～(7)，直到重建的磁共振波谱满足条件或迭代次数达到预设上限。

2.根据权利要求1所述的一种基于行与列同时低秩约束的磁共振波谱重建方法，其特征在于，步骤(6a)和(6b)中求解关于L_m和R_n的子问题，可以按照以下步骤进行：

(6a1)对矩阵进行奇异值分解，得到：

其中，P表示左奇异向量矩阵，V表示右奇异向量矩阵，Δ表示奇异值矩阵；

(6a2)计算关于矩阵奇异值的阈值参数μ：

(6a3)对奇异值矩阵Δ中所有对角元素进行阈值处理：

其中，Th(·)表示阈值函数，δ表示Δ中任意对角元素；

(6a4)对Δ中所有对角元素阈值处理后的结果可表示为Th(Δ)，则关于L_m的子问题的最优解表达式为：

L_m＝PTh(Δ)V^H

(6b1)对矩阵进行奇异值分解，得到：

其中，E表示左奇异向量矩阵，Q表示右奇异向量矩阵，Σ表示奇异值矩阵；

(6b2)通过阈值函数Th(·)对奇异值矩阵Σ中所有对角元素进行阈值处理，结果可表示为Th(Σ)，则关于R_n的子问题的最优解表达式为：

R_n＝ETh(Σ) Q^H。

3.根据权利要求1所述的一种基于行与列同时低秩约束的磁共振波谱重建方法，其特征在于，步骤(6c)中求解关于X的子问题，可以按照以下步骤进行：

(6c1)该子问题是一个大规模的最小二乘问题，为快速计算其近似解，需定义与的共轭运算，其定义式为：

其中，表示的共轭算符，A表示任意L×(Ν-L+1)大小的矩阵，a_k，i表示A中第k行中第i列的元素，表示的共轭算符，B表示任意K×(M-K+1)大小的矩阵，b_k，i表示B中第k行中第i列的元素，min(·，·)表示最小值函数，max(·，·)表示最大值函数，(·)^T表示矩阵的转置算符；

(6c2)利用共轭算符与计算辅助矩阵J₁与J₂：

另外，计算Ν×Ν大小的对角权重矩阵与M×M大小的对角权重矩阵其中的第i个对角元素与的第i个对角元素的表达式为：

(6c3)引入中间变量s，关于中间变量s的计算式为：

其中，γ＞0是一个小常数，I_MN表示MN×MN大小的单位矩阵，I_M表示M×M大小的单位矩阵，I_N表示N×N大小的单位矩阵，表示矩阵的克罗内克积算符，(·)^-1表示矩阵的逆，X_last表示上一次迭代中该子问题的解，vec(·)表示将矩阵的各列依次堆叠成向量的算符；

(6c4)在得到中间变量s后，关于X的子问题的近似解表达式为：

其中，是M×M大小的傅里叶变换矩阵F_M的共轭转置矩阵，U^H是欠采样矩阵U的共轭转置矩阵，将得到的vec(X)转换为矩阵X即为获得的近似解。