[发明专利]一种基于三重正交多项式的回转类壳体的建模方法

权利要求书

1.一种基于三重正交多项式的回转类壳体的建模方法，其特征在于包括以下步骤：

步骤一：首先对回转类壳体建立回转类壳体坐标系，记为(α,β,r)，其中，α表示回转类壳体坐标系的轴向方向变量，β表示回转类壳体坐标系的圆周方向变量，r表示回转类壳体坐标系的半径方向变量，轴向方向和圆周方向相垂直，半径方向分别与轴向方向和圆周方向相垂直。在回转类壳体坐标系下，轴向方向的位移容许函数选用三重正交多项式来表示，记为u；圆周方向的位移容许函数选用三重正交多项式来表示，记为v；半径方向的位移容许函数选用三重正交多项式来表示，记为w；

步骤二：通过公式(1)将回转类壳体坐标系(α,β,r)中的轴向方向变量α换元至取值范围[a,b]内的正交多项式变量ξ，通过公式(2)将回转类壳体坐标系(α,β,r)中的圆周方向变量β换元至取值范围[a,b]内的正交多项式变量η，通过公式(3)将回转类壳体坐标系(α,β,r)中的半径方向变量r换元至取值范围[a,b]内的正交多项式变量δ，[a,b]为正交多项式的正交区间；回转类壳体坐标变换后的三个方向上的位移容许函数u、v和w如式(4)-(6)所示：

其中，L表示回转类壳体沿母线方向的长度，R表示回转类壳体的半径，G表示正交多项式的截断项数，为大于0的整数，m为半径方向的项数计数值，n为圆周方向的项数计数值，l为轴向方向的项数计数值；m＝0,1,2…G，n＝0,1,2…G，l＝0,1,2…G，为回转类壳体坐标系下轴向方向上位移容许函数的正交多项式系数，为回转类壳体坐标系下圆周方向上位移容许函数的正交多项式系数，为回转类壳体坐标系下半径方向上位移容许函数的正交多项式系数；T_m(ξ)表示变量取值为ξ的第m阶正交多项式，T_n(η)表示变量取值为η的第n阶正交多项式，T_l(δ)表示变量取值为δ的第l阶正交多项式；

步骤三：回转类壳体在中面上的薄膜应变分量(ε_α、ε_β、γ_αβ)和弯曲应变分量(k_α、k_β、τ_αβ)与各位移分量之间的关系可以表示为：

其中，ε_α表示回转类壳体中面上沿着轴向方向的正应变，ε_β表示回转类壳体中面上沿着圆周方向的正应变，γ_αβ表示回转类壳体中面面内的剪应变；k_α表示回转类壳体轴向方向非中面的曲率，k_β表示回转类壳体圆周方向非中面的曲率，τ_αβ表示回转类壳体非中面的扭率，A和B均为Lame′参数，R_α为轴向方向的主曲率半径，R_β为圆周方向的主曲率半径，回转类壳体的Lame′参数取值如下：

当回转类壳体为圆柱形壳体时，Lame′参数为：A＝R，B＝R，R_α＝∞，R_β＝R；

当回转类壳体为圆锥形壳体时，Lame′参数为：A＝1，B＝Lsinφ，R_α＝∞，R_β＝Ltanφ，φ表示圆锥形壳体的锥角；

当回转类壳体为圆球形壳体时，Lame′参数为：A＝R，R_α＝R，R_β＝R；表示球壳的截断角度；

步骤四：回转类壳体的应变能V和动能T采用式(13)和式(14)表示为：

式中K＝Eh/(1-μ²)为回转类壳体的薄膜刚度，D＝Eh³/[12(1-μ²)]为回转类壳体的弯曲刚度，S_αβ为回转类壳体中面的面积；

步骤五：回转类壳体的边界能量函数V_b采用式(15)表示为:

式中k_α表示回转类壳体边界处轴向方向的线性刚度系数，k_β表示回转类壳体边界处圆周方向的线性刚度系数，k_r表示回转类壳体边界处半径方向的线性刚度系数，K_w表示回转类壳体边界处的扭转刚度系数；

步骤六：在回转类壳体中，在圆周方向上的位移容许函数是连续的，即满足圆周方向β＝0处的位移值等于圆周方向β＝2π处的位移值；由正交多项式的基本性质可知，对于每个正整数n，T_n(η)表示变量为η的正交多项式的第n阶多项式，在正交区间[a,b]内，位移容许函数中变量η＝a时的第n阶正交多项式T_n(η|_η＝a)不等于位移容许函数中变量η＝b时的第n阶正交多项式T_n(η|_η＝b)，即正交多项式正交区间两端点的值不相等，显然不能满足式(16)，所以回转类壳体选用三重正交多项式的位移容许函数在圆周方向上的位移是不连续的；

T_n(η|_η＝a)＝T_n(η|_η＝b) (16)

为了位移容许函数满足连续性条件，引入一种罚函数，将罚函数的二次惩罚项加入到最小化的回转类壳体的拉格朗日泛函中，该拉格朗日泛函的极值条件为其变分为零，当罚函数的罚因子K足够大时(为大于10⁶的正数)，能够得到逼近于精确解T_n(η_|η＝a)＝T_n(η_|η＝b)的近似解，回转类壳体圆周方向罚函数的能量泛函V_c采用式(17)表示：

其中，w(ξ,η|_η＝a,δ)表示回转类壳体半径方向β＝0处的位移容许函数，w(ξ,η|_η＝b,δ)表示回转类壳体半径方向β＝2π处的位移容许函数，u(ξ,η|_η＝a,δ)表示回转类壳体轴向方向β＝0处的位移容许函数，u(ξ,η|_η＝b,δ)表示回转类壳体轴向方向β＝2π处的位移容许函数，v(ξ,η|_η＝a,δ)表示回转类壳体圆周方向β＝0处的位移容许函数，v(ξ,η|_η＝b,δ)表示回转类壳体圆周方向β＝2π处的位移容许函数，表示回转类壳体半径方向β＝0处位移容许函数的一阶偏导，表示回转类壳体半径方向β＝2π处位移容许函数的一阶偏导；

步骤七：回转类壳体的拉格朗日能量泛函可以表示为：

L_w＝V-T+V_b+V_c (18)

将位移容许函数w，u，v分别代入回转类壳体的拉格朗日能量泛函L_w，并分别对回转类壳体拉格朗日泛函中的正交多项式系数求变分，得到线性方程组：

步骤八：将所得到的线性方程组采用矩阵形式进行描述，得到式(22)：

(N-ω²M)Q＝0 (22)

其中，N为回转类壳体的刚度矩阵、M为回转类壳体的质量矩阵、Q为回转类壳体的系数矢量。Q表示为：

步骤九：由式(22)求出ω²，然后计算ω²的算术平方根得到回转类壳体的固有频率ω；由式(23)得到回转类壳体的固有频率相对应的主振型，采用式(24)表示为：

W＝DQ (24)

其中，W表示回转类壳体模型的主振型；D表示选取的线性独立的假设振型，每一个线性独立的假设振型都能够表示成回转类壳体模型的主振型的线性组合。

2.根据权利要求1所述的一种基于三重正交多项式的回转类壳体的建模方法，其特征在于所述的步骤一中三重正交多项式为勒让德多项式、雅可比多项式、切比雪夫多项式、拉盖尔多项式和埃尔米特多项式中的任意一种。