[发明专利]一种基于对勾函数度量的平面网格优化方法

说明书

本发明提出一种基于对勾函数度量的平面网格优化方法。首先输入一个三角网格并固定边界，然后计算网格的理想角度集。用对勾函数设计三角网格所有角度关于网格顶点坐标的能量函数。初始化设置网格优化的最大迭代次数、数值精度以及残差值，再遍历网格所有顶点使用梯度下降法进行顶点优化。迭代次数到达最大值或者能量优化小于数值精度时，网格优化完成。对勾函数度量的角度优化能量能有效提高最小角，改善网格单元质量。

技术领域

本发明涉及计算机图形学与有限元网格生成技术领域，尤其涉及一种基于对勾函数度量的网格优化方法。

背景技术

有限元技术通常需要单元质量较好的网格，例如尽可能使得最小角最大化。总体上，针对平面网格优化的几何优化方法能分为拉普拉斯平滑法、基于形状度量的优化法以及基于角度优化法三类。

拉普拉斯平滑方法迭代地将每个网格内部顶点移动到其1-环邻域多边形的中心位置。该方法简单高效，被广泛使用，但难以将顶点移动至最佳位置，尤其在处理凹网格时，其优化效果尤为不明显，甚至可能还会翻转单元。

基于形状度量的优化法是最为常见的网格优化方法，其通常以正多边形作为想单元，设计偏离理想单元的形变误差并作为目标函数优化。该方法可以有效地控制网格的质量或形变度量，但是当网格拓扑连接不规则程度较高时，网格逼近正三角形优化效果有限，网格质量优化效果不佳。

基于角度的优化法则从优化网格的角度分布的思路，以角度度量作为网格质量的重要指标进行优化。这些方法考虑了角度的分布，能够获得不错的结果。这类方法通常采用最小二乘法拟合理想角度分布，虽然在求解时表现出良好的收敛性，但其目标函数均摊角度误差，使得每个顶点尽可能平分其内角，容易出现小角度；此外该方法，但是该方法优于仅度量角度偏差，难以起到惩罚小角度的目的，容易出现小角度。

发明内容

本发明目的在于针对现有技术的不足，提出一种基于对勾函数度量的网格优化方法。

本发明的目的是通过以下技术方案来实现的：一种基于对勾函数度量的平面网格优化方法，所述方法包括以下步骤：

步骤一，对于待处理的无局部翻转的平面三角网格Ω＝{V，T}，其中V为网格顶点集，T为三角形索引集；构造网格的理想角度分布集合表示第t个三角形中关于顶点v∈t的理想角，理想角度是优化目标，即理想三角形单元的角度；

步骤二，构造针对角度优化基于对勾函数的能量函数：其中为与对应的实际角度集，对于整个三角形网格，定义全局能量函数：

其中优化变量是网格的顶点坐标，表示为关于第t个三角形中顶点v_i的角度函数；

步骤三，基于公式(1)定义的全局能量函数，运用内点法将其公式(1)转化为无约束优化问题，以每个顶点坐标为变量，以其1-环邻域三角形作为局部求解对象，设置该优化问题为：

其中N(v)为顶点v的1-环邻域三角形集；V_int表示网格的内部顶点集；

步骤四，固定网格边界顶点坐标，运用块坐标梯度下降法数值求解优化能量函数；设置网格中的任意一个内部顶点其局部能量函数的梯度为：

其中：为角度关于坐标v的梯度；对于每个内部顶点，基于公式(3)的梯度公式，运用梯度下降法更新顶点坐标：

V^k+1＝V^k-τg^k， (4)