[发明专利]一种基于分数型范数低秩约束的CS-MRI图像重构方法

权利要求书

1.一种基于分数型范数低秩约束的CS-MRI图像重构方法，包括以下步骤：

(1)输入一幅MRI的K空间数据y和采样模板，采用传统重构方法进行预重构，获得初始重构图像x⁽⁰⁾；

(2)对每个大小的目标图像块分别在初始重构图像x⁽⁰⁾中划定以其为中心的固定大小的矩形区域，并在该区域内寻找与其欧氏距离最小的m个图像块(包括目标图像块自身)组成相似图像块矩阵，则表示第i个相似图像块矩阵，其中x是待重构图像，R_i,j是X_i中第j个相似图像块的提取矩阵，是整个相似图像块矩阵的提取算符；

(3)对相似图像块矩阵采用L_a,ε分数型范数约束其低秩特性，表示X_i的L_a,ε分数型范数，其定义式为：

其中，σ_k为X_i的第k个奇异值，a＞0为指数因子且取值不大于1，ε＞0是小常量；

(4)在利用L_a,ε分数型范数约束相似图像块矩阵低秩特性的基础上，建立关于图像和相似图像块矩阵的重构模型：

其中，表示向量的二范数的平方，F_u＝UF为欠采样傅里叶编码矩阵，U为欠采样矩阵，F为正交傅里叶变换矩阵，λ为K空间数据保真项的正则化参数；

(5)引入拉格朗日乘子B_i和惩罚参数β，并通过交替方向乘子法对重构模型中各优化变量进行求解：

(5a)固定x，B_i和β，求解关于相似图像块矩阵X_i的子问题：

其中，表示矩阵的Frobenius范数的平方；

(5b)固定X_i，B_i和β，求解关于图像x的子问题：

(6)在获得重构模型中各变量的优化解后，关于拉格朗日乘子B_i和惩罚参数β的更新式为：

β＝γβ

其中γ＞1为增长因子，重复步骤(5)～(6)，直到重构图像满足条件或迭代次数达到预设上限。

2.根据权利要求1所述的一种基于分数型范数低秩约束的CS-MRI图像重构方法，其特征在于，步骤(5a)中求解关于相似图像块矩阵X_i的子问题，可以按照以下步骤进行：

(5a1)对矩阵进行奇异值分解，得到：

其中，G_i为左奇异向量矩阵，V_i为右奇异向量矩阵，δ₁，δ₂，…，δ_m为矩阵的奇异值，diag(δ₁，δ₂，…，δ_m)表示δ₁，δ₂，…，δ_m作为对角元素的对角矩阵；

(5a2)迭代求解相似图像块矩阵X_i的所有奇异值，对于X_i的第k个奇异值σ_k，令其初始值为并计算迭代式：

v＝v+1

其中，v表示迭代次数，表示第v次迭代中σ_k的计算值，重复计算该迭代式直到v达到预设上限；

(5a3)在得到最终迭代的计算值后，判断是否为最优解的判别条件为：

当满足判别条件，令当不满足判别条件，令σ_k＝0；

(5a4)在求解出X_i的所有奇异值后，该子问题最优解X_i的表达式为：

其中，diag(σ₁，σ₂，…，σ_m)表示σ₁，σ₂，…，σ_m作为对角元素的对角矩阵。

3.根据权利要求1所述的一种基于分数型范数低秩约束的CS-MRI图像重构方法，其特征在于，步骤(5b)中求解关于图像x的子问题，可以按照以下步骤进行：

(5b1)该子问题为大规模的最小二乘问题，为快速计算其近似解，引入中间图像变量z与小常量τ＞0，关于中间图像变量z的计算式为：

其中，Ι是单位矩阵，是提取矩阵R_i,j的共轭转置矩阵，x^last表示上一次交替方向乘子法迭代中的重构图像，(X_i+B_i/β)_j表示矩阵X_i+B_i/β的第j列；

(5b2)在得到中间图像变量z后，该子问题近似解x的表达式为：

x＝F^H(λU^HU+βτΙ)^-1(λU^Hy+βτFz)

其中，U^H是欠采样矩阵U的共轭转置矩阵，F^H是正交傅里叶变换矩阵F的共轭转置矩阵。