[发明专利]用于求解未知外部驱动力作用下的有界振动杆位移分布的耦合物理信息神经网络

说明书

一种用于求解未知外部驱动力作用下的有界振动杆位移分布的耦合物理信息神经网络，提出一种新的PINN，称为C‑PINN，用于求解有界振动杆在具有较少或甚至没有任何先验信息的外部驱动力作用下的位移分布。包含两个神经网络，NetU和NetG。NetU逼近满足所研究有界振动杆的位移分布；NetG用于正则化NetU中的u以满足NetU逼近的位移分布。将两个网络集成为一个数据‑物理混合的损失函数中。此外，利用所提出的分层训练策略对该损失函数进行优化，实现两个网络的耦合。最后，验证C‑PINN在求解有界振动杆在外部驱动力作用时位移分布的性能。本发明的C‑PINN适用于解决具有外部驱动作用下并与时间空间具有依赖关系的多类动态系统，即包括求解在外部热源作用下的温度分布，电磁波在外源影响下的电磁分布等。

技术领域

本发明属于利用神经网络求解偏微分方程领域，涉及一种用于求解具有未知外部驱动力作用下的有界振动杆位移分布的耦合物理信息神经网络。

背景技术

偏微分方程(PDE)是用于描述时空依存性的表示方式之一。因此偏微分方程被广泛应用于对医疗、工程、经济、天气等物理现象建模。目前，有几种经典的成功求解PDE的数值方法，例如有限差分法(G.D.Smith,G.D.Smith,and G.D.S.Smith,Numerical solutionofpartial differential equations:finite difference methods.Oxforduniversitypress,1985.)、有限元法(G.Dziuk and C.M.Elliott,“Finite element methods forsurface pdes,”Acta Numerica,vol.22,pp.289–396,2013.)。值得注意的是，数值求解方法是在计算复杂度方面的棘手问题。

在求解PDE的数值方法中，Galerkin方法是一种著名的计算方法，其中使用基函数的线性组合来逼近PDE的解(Ciarlet P G.The finite element method for ellipticproblems[M].Society for Industrial andApplied Mathematics,2002.)。受此启发，一些工作如Zobeiry等人，Cuomo等人和Chen等人使用机器学习模型来代替基函数的线性组合，(Zobeiry N,Humfeld K D.A physics-informed machine learning approach forsolving heat transfer equation in advanced manufacturing and engineeringapplications[J].Engineering Applications of Artificial Intelligence,2021,101:104232.Cuomo S,Di Cola V S,Giampaolo F,et al.Scientific Machine Learningthrough Physics-Informed Neural Networks:Where we are and What's next[J].arXiv preprint arXiv:2201.05624,2022.Chen W,Wang Q,Hesthaven J S,etal.Physics-informed machine learning for reduced-order modeling ofnonlinearproblems[J].Journal ofcomputational physics,2021,446:110666.)，以构建用于求解PDE的数据高效和物理信息学习方法。深度学习方法在图像(M.Ye,J.Shen,G.Lin,T.Xiang,L.Shao,and S.C.Hoi,“Deep learning for person re-identification:A survey andoutlook,”IEEEtransactions on pattern analysis and machine intelligence,vol.44,no.6,pp.2872–2893,2021.)、文字(D.Nurseitov,K.Bostanbekov,M.Kanatov,A.Alimova,A.Abdallah,and G.Abdimanap,“Classification of handwritten names ofcitiesand handwritten text recognition using various deep learning models,”arXiv preprint arXiv:2102.04816,2021.)语音识别(L.Deng,J.Li,J.-T.Huang,K.Yao,D.Yu,F.Seide,M.Seltzer,G.Zweig,X.He,J.Williams et al.,“Recent advances indeep learningfor speech research at microsoft,”in 2013IEEE internationalconference on acoustics,speech and signal processing.IEEE,2013,pp.8604–8608.)等各个领域的成功应用确保它们能够替代基函数线性组合，用于求解偏微分方程。因此，利用神经网络出色的近似能力来解决偏微分方程是一个自然的想法，并且之前已经以各种形式进行了研究(A.J.Meade Jr and A.A.Fernandez,“The numerical solution of linearordinary differential equations by feedforward neural networks,”Mathematicaland Computer Modelling,vol.19,no.12,pp.1–25,1994.I.E.Lagaris,A.Likas,andD.I.Fotiadis,“Artificial neural networks for solvingordinary and partialdifferential equations,”IEEE transactions on neural networks,vol.9,no.5,pp.987–1000,1998.I.E.Lagaris,A.C.Likas,and D.G.Papageorgiou,“Neural-networkmethods for boundary value problems with irregular boundaries,”IEEETransactions onNeural Networks,vol.11,no.5,pp.1041–1049,2000.)。Raissi等人引入了物理信息神经网络(PINN)的框架来解决正向问题(Raissi M,Perdikaris P,Karniadakis G E.Physics-informed neural networks:A deep learning frameworkfor solving forward and inverse problems involving nonlinear partialdifferential equations[J].Journal of Computational physics,2019,378:686-707.)，同时尊重由PDE控制的任何给定物理定律，包括非线性算子、初始条件和边界条件。在PINN框架内，Mao等人(Mao Z,JagtapAD,Karniadakis G E.Physics-informed neuralnetworks for high-speed flows[J].Computer Methods in Applied Mechanics andEngineering,2020,360:112789.)和He等人(He Q Z,Barajas-Solano D,Tartakovsky G,et al.Physics-informed neural networks for multiphysics data assimilationwith application to subsurface transport[J].Advances in Water Resources,2020,141:103610.)充分考虑稀疏观测数据和物理知识来构建损失函数。通过训练损失函数获得关于任何时空依存性的解决方案。通过对损失函数的训练，得到了关于时空依存性的解。通过机器学习和深度学习得到的近似解是无网格的，在平衡精度和形成网格的效率上没有问题。