[发明专利]一种构建Zernike多项式像差模式与Walsh函数像差模式之间系数转换矩阵的方法

摘要

一种构建Zernike多项式像差模式与Walsh函数像差模式之间系数转换矩阵的方法，根据Zernike多项式系数与各阶Walsh函数系数之间的线性关系，确定各项Zernike多项式用Walsh函数展开的系数矩阵，从而实现Zernike多项式像差模式系数与Walsh函数像差模式系数之间的相互转换，若选取其中系数绝对值较大的Walsh函数阶，重新构建转换矩阵，则能有效地减小系数转换矩阵的尺度，以最少和最优的Walsh函数阶的系数信息获得Zernike多项式系数信息；本发明在实际应用中只需测得其中一种像差模式系数，就能通过转换矩阵确定另一种像差模式对应的系数，因此用两种像差模式分别描述波前相位畸变，实现两种像差模式的优势互补，同时也为新型波前传感技术的发展提供一定的帮助。

主权项

一种构建Zernike多项式像差模式与Walsh函数像差模式之间系数转换矩阵的方法，其特征在于通过以下步骤实现：步骤1：确定待测波前中包含的Zernike多项式项数N_Z与Walsh函数阶数N_W，其中N_W>N_Z，且N_W＝4^k，k为正整数；生成各项Zernike多项式和各阶Walsh函数的二维矩阵，矩阵大小为M×N，M、N均为正整数，由于波前展开一般都在方形定义域上，因此M、N一般情况下取值相等；分别将各项Zernike多项式和各阶Walsh函数二维矩阵改写成1×(M×N)的一维向量形式Z_i，即第i项Zernike多项式向量，i∈[1,N_Z]和W_l即第l阶Walsh函数向量,l∈[0,N_W‑1]；步骤2：用N_W阶Walsh函数作为波前展开的像差模式分别展开各项Zernike多项式其中为第i项Zernike多项式展开的第l阶Walsh函数系数，ε_i为对应的展开误差向量，由此得到Zernike多项式与Walsh函数关系矩阵：Z＝A·W+ε   (1)Z为N_Z项Zernike多项式向量矩阵，A为N_Z项Zernike多项式N_W阶Walsh函数展开的系数矩阵，W为N_W阶Walsh函数向量矩阵，ε为N_Z项Zernike多项式用N_W阶Walsh函数展开的展开误差向量矩阵；步骤3：求解上述方程中的系数矩阵A,采用矩阵W的广义逆W⁺表示：A＝Z·W⁺     (2)矩阵A即为N_Z项Zernike多项式像差模式系数C_Z与N_W阶Walsh函数像差模式系数C_W之间的转换矩阵，C_Z为1×N_Z向量，C_W为1×N_W向量，有：C_W＝C_Z·A，C_Z＝C_W·A⁺     (3)利用矩阵A和矩阵A的广义逆A⁺,根据式(3)的两个关系式，即可在确定某个波前相位用N_W阶Walsh函数像差模式展开的系数向量的情况下，直接求出同一波前用N_Z项Zernike多项式像差模式展开的系数向量，从而以连续形式重构待测波前信息；反之，当测得某个波前相位中包含的各项Zernike多项式像差模式的系数信息时，可以直接求出该波前相位中各阶Walsh函数像差模式的系数成分；步骤4：根据需求确定是否要用最少和最优的Walsh函数序列的系数信息复原波前相位中各项Zernike多项式像差模式的系数向量，若不需要则用步骤3中的矩阵A即为最终的系数转换矩阵；若需要，则继续执行以下步骤；步骤5：从步骤3中的系数矩阵A中选出最优的N_Z阶Walsh函数，用该N_Z阶Walsh函数重新构建步骤2中的关系矩阵：Z＝A′·W′+ε′   (4)式中W′表示选出的N_Z阶Walsh函数向量矩阵，A′为N_Z项Zernike多项式用N_Z阶Walsh函数像差模式展开的系数矩阵，ε′为N_Z项Zernike多项式用N_Z阶Walsh函数像差模式展开的展开误差向量矩阵；所述步骤5中的最优的N_Z阶Walsh函数通过以下步骤选出：步骤a：系数矩阵A的第一行表示第1项Zernike多项式像差模式用N_W阶Walsh函数像差模式展开的系数向量，找出其中展开系数绝对值的最大值(其中第1列忽略，忽略第0阶Walsh函数)，该系数对应的Walsh函数在展开项中所占比重最大，将该阶Walsh函数放入最优展开的阶数序列中，并且将系数矩阵A中该最大值所在列的所有值均置为0，以避免该阶Walsh函数被重复选出；步骤b：对第2项至第N_Z项Zernike多项式的Walsh函数像差模式展开系数向量重复上述步骤a的过程，直至选出最优的N_Z阶Walsh函数；步骤c：将选出的N_Z阶Walsh函数按阶数从小到大依次排序；步骤6：方程(4)的系数矩阵A′的解采用矩阵W′的广义逆(W′)⁺表示：A′＝Z·(W′)⁺     (5)矩阵A′即为N_Z项Zernike多项式像差模式系数C_Z与选出的N_Z阶Walsh函数像差模式系数C′_W之间的转换矩阵，C_Z、C′_W均为1×N_Z向量，有：C′_W＝C_Z·A′，C_Z＝C′_W·(A′)⁺     (6)利用矩阵A′和矩阵A′的广义逆(A′)⁺和式(6)的两个关系式，若确定某个波前相位的该N_Z阶Walsh函数展开的系数向量C′_W，即可求出同一波前的N_Z项Zernike多项式展开系数向量C_Z，由于Zernike多项式是连续形式的，最终实现在测得离散的Walsh函数像差模式系数的情况下，仍可用常见的连续形式表示波前相位，反之，根据波前相位中N_Z项Zernike多项式像差模式的系数向量C_Z，求出该波前相位用N_Z阶Walsh函数像差模式展开的展开系数向量C′_W。