[发明专利]一种基于5次Bezier曲线的G3连续过渡曲线构造方法

摘要

一种基于5次Bezier曲线的G3连续过渡曲线构造方法，它包括以下步骤步骤一、求出原始曲线在端点处的一阶导矢和二阶导矢；步骤二、使原始曲线和过渡曲线在连接点处满足G2连续条件；步骤三、在步骤二的基础上，使原始曲线和过渡曲线在连接点处满足G3连续；步骤四、根据步骤三反算5次Bezier过渡曲线控制点；步骤五、根据步骤四中的控制顶点正算5次Bezier过渡曲线。本发明采用Bezier曲线构造过渡曲线具有易于直观地控制曲线的形状，方便交互设计的优点，并且参数个数越少，阶数越低，计算次数也就越少，在计算机中存储空间越小，本发明可用于CAD建模中过渡曲线的构造。

主权项

一种基于5次Bezier曲线的G3连续过渡曲线构造方法，其特征在于：它包括以下步骤：步骤一：求出原始曲线在连接处的一阶导矢和二阶导矢，分别表示曲线0与过渡曲线连接点的一、二导数和曲线1与过渡曲线连接点的一、二阶导数，“点”表示对原始曲线求导，“撇”表示对过渡曲线求导；步骤二：曲线0、1与过渡曲线满足G2连续，满足该条件的表达式为：r″＝λv1+ω2v2，其中ω，λ为任意的系数；在该步骤中令其中，α，β为单位向量，并且有α⊥β,v2为在的垂直方向上的投影矢量；步骤三：根据曲率公式容易证明如果曲线r(t)在端点处的一、二阶导数改为r′和r″，则r(t)在端点处的曲率不变；通过调整ω使一阶导数的模长取合理值，如果参数域为[0，1]，则|r′|取曲线弧长，选取λ值使曲线达到曲率导数连续即在该步骤三中设并设得到以下表达式：f′(t)=(r′×r′′,r′×r′′)′(r′,r′)3-6(r′×r′′,r′×r′′)′(r′,r′)2(r′,r′′)(r′,r′)6=2(r′×r′′,r′×r′′′)′(r′,r′)-6(r′×r′′,r′×r′′)(r′,r′′)(r′,r′)4=f′(t)=2(r′′′,β)d0d2-6λωd22ω2d05---(1)]]>步骤四：5次Bezier曲线表达式为：Bj,n(t)为Bernstein基，那么，曲线端点处有：p(0)＝P0，p(1)＝P5，根据连续条件有r0＝P0，r1＝P5；5次Bezier曲线两端点处的一、二、三阶导矢：P0′＝5(P1‑P0)            (2)P5′＝5(P5‑P4)            (3)P0″＝20(P2‑2P1+P0)     (4)P5″＝20(P5‑2P4+P3)     (5)P0″′＝60(P3‑3P2+3P1‑P0)        (6)P′0、P′5、P″0、P″5、P″′0、P″′5         (7)由方程(1)、(2)、(4)、(6)得到：-ω0d02d00λ0+(v11,β0)λ1=3ω02d02-ω12(v12,β0)-20(-P0+2P4-P5,β0)+ω02d004k0k·03d02---(8)]]>由方程(1)、(3)、(5)、(7)得到：(v01,β1)λ0+ω1d12d10λ1=-ω02(v02,β1)+3ω12d12+20(P0-2P1+P5,β1)-ω12d104k1k·13d12---(9)]]>其中，ωi、λi、ki、βi，vi1、vi2、di0、di2分别表示曲线i与过渡曲线连接时ω、λ、k、β、v1、v2、d0、d2的值，i＝0，1，由方程(8)、(9)解出λ0、λ1；步骤五：通过步骤四得出的λ0和方程(2)、(4)求出P2，λ1和方程(3)、(5)求出P3，最后所有的控制点都得到，进而得到两组曲线的5次Bezier过渡曲线。