[发明专利]一种基于局部抽象凸估计的群体全局优化方法

摘要

一种基于局部抽象凸估计的群体全局优化方法，在群体进化算法框架下，结合抽象凸理论，提出一种基于局部抽象凸估计的群体全局优化方法。通过对新生成个体的邻域信息构建松弛优化模型，基于分段线性凸包络的几何特征设计松弛模型的高效极值点枚举算法；进而在更新环节，利用下界信息安全排除无效区域，从而减少了函数的评价次数，提高了算法的可靠性；同时利用支撑面的下降方向作局部增强，进一步加快了算法的收敛速度；提出的方法只对新生成个体的领近个体构建支撑面，降低了算法的计算复杂度和空间复杂度。

主权项

一种基于局部抽象凸估计的群体全局优化方法，其特征在于：所述全局优化方法包括以下步骤：1）参数初始化：设置常数M，增益常数F，交叉概率CR，群体规模PopSize，各变量的下界a_i，上界b_i；2）建立n叉树保存各下界估计值：2.1)根据公式(1)对单位单纯形区域S的各顶点进行转换得到点x¹,x²,...,x^N+1；$x_i=x_i^{\text{'}}{\mathrm{\Σ}}_{i=1}^N(b_i-a_i)+a_i,i=\mathrm{1,2},...,N---\left(1\right)$其中a_i为x_i的下界，b_i为x_i的上界，x_i′为各顶点在S中的坐标值；2.2)根据公式(2)计算各点的支撑向量式中f(x^k)表示x^k对应的目标函数值；$l^k=(\frac{x_1^k}{f\left(x^k\right)},\frac{x_2^k}{f\left(x^k\right)},...,\frac{x_{N+1}^k}{f\left(x^k\right)})---\left(2\right)$由于目标函数f(x)必须为满足公式(3)的函数$\begin{array}{c}i)\∀x,y\∈R_{+}^N,x>y\⇒f\left(x\right)\≥f\left(y\right)\\ \mathrm{ii})\∀x\∈R_{+}^N,\∀\mathrm{\λ}\∈R_{++}:f\left(\mathrm{\λx}\right)=\mathrm{\λf}\left(x\right)\end{array}---\left(3\right)$其中，表示任意，$R_{+}^N=\{x\∈R^N:x_i\≥0,i=\mathrm{1,2},...,N\},R_{++}^N=\{x\∈R^N:x_i>0,$在计算支撑向量时，应对公式(2)中的f(x^k)加上一个足够大的常数M，使其满足式(3)；2.3)以支撑矩阵为根建立树，支撑矩阵L如公式(4)；$L=\left(\begin{array}{cccccc}{l}_1^{k_1}& l_2^{k_1}& .& .& .& l_{N+1}^{k_1}\\ l_1^{k_2}& l_2^{k_2}& .& .& .& l_{N+1}^{k_2}\\ .& .& .& & & .\\ .& .& & .& & .\\ .& .& & & .& .\\ l_1^{k_{N+1}}& l_2^{k_{N+1}}& .& .& .& l_{N+1}^{k_{N+1}}\end{array}\right)---\left(4\right)$3）在各变量定义域范围[a_i,b_i]内随机生成PopSize个个体作为初始群体；4）计算出当前群体中的最优个体x_best，如果满足终止条件：|f(x_best)‑Optimum|≤ε，其中Optimum为目标函数的全局最优值，ε为允许误差，则保存结果并退出，否则进入步骤5）；5）交叉、变异产生新个体trial：5.1)任意选取三个个体{x^a,x^b,x^c|a,b,c∈{1,2,...,popSize},a≠b≠c≠k}；5.2)根据公式(5)对{x^a,x^b,x^c}执行变异操作，生成变异个体${\hat{x}}^k=x^a+F\·(x^b-x^c)---\left(5\right)$5.3)根据公式(6)对目标个体x^k和变异个体执行交叉操作，生成测试个体trial：$\mathrm{troal}\left[i\right]=\left\{\begin{array}{cccc}{\hat{x}}_i^k& \mathrm{if}(\mathrm{randb}\left(\mathrm{0,1}\right)\≤\mathrm{CR}& \mathrm{or}& i=\mathrm{rnbr}\left(i\right)\\ x_i^k& \mathrm{if}(\mathrm{randb}\left(\mathrm{0,1}\right)>\mathrm{CR}& \mathrm{ir}& i\≠\mathrm{rnbr}\left(i\right)\end{array}\right.i=\mathrm{1,2},...,N---\left(6\right)$其中，randb(0,1)表示为产生0到1之间的随机小数，rnbr(i)表示随机产生1到N之间的整数；6）找出离新个体trial最近的两个个体，并对其构建支撑向量：6.1)根据公式(7)将x^k转换到单位单纯形空间中得到x^k′；$\left\{\begin{array}{c}{x}_i^{\text{'}}\≡(x_i-a_i)/{\mathrm{\Σ}}_{i=1}^N(b_i-a_i)\\ {x_{N+1}^{\text{'}}\≡1-{\mathrm{\Σ}}_{i=1}^N{x}_i^{\text{'}}}^{}\end{array}\right.,i=\mathrm{1,2},...,N---\left(7\right)$6.2)根据公式(2)计算x^k′的支撑向量l^k；6.3)根据条件关系式(8)(9)更新树：$\∀i,j\∈I,i\≠j:l_i^{k_i}>l_i^{k_j}---\left(8\right)$$\∀v\∈{\mathrm{\Λ}}^k\backslash L,\∃i\∈I:l_i^{k_i}\≤v_i---\left(9\right)$其中v∈Λ^k\L表示v属于Λ^k但不属于L，表示存在；6.3.1)找出针对步骤6.2)构建的支撑向量l^k不满足条件(9)的叶子节点，式中v_i＝l^k；6.3.2)用l^k替换步骤6.3.1)中找到的叶子节点矩阵中的第i个支撑向量从而形成新的叶子节点；6.3.3)判断步骤6.3.2）中产生的新的叶子节点是否满足条件关系式(8)，如果满足，则保留，否则删除；7）对trail个体进行如下操作：7.1)根据公式(7)对trial个体作变换得到trial′；7.2)根据公式(10)从树中找出包含trial′个体的树叶在节点TreeNode，其中用trial′代替；$x_j^{k_j}{\hat{x}}_i^r>x_i^{k_j}{\hat{x}}_j^r,i,j\∈I,i\≠j---\left(10\right)$其中为所找的叶子节点矩阵中的元素；7.3)根据公式(11)计算出trial′所在节点TreeNode的下界估计值y_trial，其中xⁱ用trial′代替；$H^K\left(x\right)=\underset{k\≤K}{\max }\underset{i=1,...N+1}{\min }\frac{x_i}{l_i^k}---\left(11\right)$其中max表示最大，min表示最小，xⁱ为单位单纯形空间中的向量；7.4)如果y_trial大于目标个体的函数值f(x^k)，则目标个体不变；7.5)如果y_trial小于目标个体的函数值f(x^k)，且trial个体的目标函数值f(trial)小于f(x^k)，则trial个体取代目标个体x^k，并继续步骤8），否则删除树并转到步骤4）；8）继续做局部增强，进行如下操作：8.1)继续根据公式(12)计算出TreeNode对应区域的下界支撑函数的极小值点式中L用TreeNode对应的支撑矩阵代替；$x_{\min }^{\text{'}}\left(L\right)=\mathrm{diag}\left(L\right)/\mathrm{Trace}\left(L\right)---\left(12\right)$其中diag表示正对角线上的元素，Trace表示矩阵的迹，即正对角线元素之和，其中L为支撑矩阵；8.2)根据公式(1)对转换得到x_min；8.3)计算x_min对应的目标函数值f(x_min)；8.4)如果f(x_min)小于目标个体的函数值f(x^k)，则x_min取代目标个体x^k；9）设置count=count+1，删除树并转到步骤4）。