[发明专利]复杂几何边界下微流体器件中气体滑移流动的计算方法

摘要

本发明涉及流体力学领域，是一种复杂几何边界下微流体器件中气体滑移流动的计算方法，其步骤：1)基于有限体积方法，采用网格划分软件，对计算域和计算边界进行离散；2)基于Maxwell分子模型和Knudsen层内质量、动量、能量守恒，得到适用于复杂几何表面的速度滑移模型；3)利用该模型，结合流体计算商业软件ANSYS FLUENT，编写用户自定义函数，计算稀薄气体在复杂几何表面的滑移速度。本发明几何边界适应性强，能与现有的商业软件结合，使用方便。

主权项

一种复杂几何边界下微流体器件中气体滑移流动的计算方法，包括以下步骤：1)对计算区域进行离散，其中计算区域可以是任意形状的，在有限体积法的离散过程中，复杂的几何表面被离散成了一定数量的小光滑表面，设原几何表面为S，每个小光滑表面记为S_k,则S＝∪S_k，对于每个S_k，设它的单位法向量为入射的气体分子与壁面发生碰撞，根据Maxwell模型：$U_s=\frac{2-{\mathrm{\σ}}_t}{{\mathrm{\σ}}_t}\mathrm{\λ}\frac{\mathrm{dU}}{\mathrm{dz}}{|}_w---\left(0.1\right)$式中，U_s是壁面处的滑移速度，σ_t是切向动量适应系数(TMAC)，λ代表气体的平均分子自由程，dU/dz|_w是壁面处法向速度梯度；一部分分子(σ_t)被固体表面吸收后重新喷出，喷出的角度是完全随机的，该部分称为散射分子；而另一部分分子(1‑σ_t)则以镜面反射的形式从壁面返回气体流动区域，该部分称为折射分子，因此，在靠近壁面的气体薄层内(Knudsen层，厚度与平均自由程同级)，存在三种分子：入射分子、散射分子、折射分子，这三种分子向固体表面传递动量，而气体的滑移速度可以通过传递动量的守恒特性推导得出；2)设整个计算区域的笛卡尔坐标系为(x,y,z)，在小光滑表面S_k处建立局部坐标系(x_k,y_k,z_k)，其中，单位法向量作为y_k轴，另外两轴根据右手定则任意选取，设气体在总体坐标系中的速度记为(u,v,w)，在局部坐标系中则为(u_k,v_k,w_k)，在局部坐标系中，Knudsen层内分子向壁面传递动量的总通量为：其中，(U_k,V_k,W_k)是分子热运动的速度，代表单个分子传递的动量，f(U_k,V_k,W_k)是分子的分布函数，函数可以表示为或者式中m代表单个分子的质量，(u_sk,v_sk,w_sk)是局部坐标系中的滑移速度，总通量P由三部分组成：P＝P_i+(1‑σ_t)P_r+σ_tP_e            (0.3)式中，P_i、P_r和P_e分别是由入射分子、折射分子以及散射分子携带的动量，气体分子在散射过程中，散射角度是完全随机的，因此散射分子携带的动量能互相抵消，P_e＝0；而在折射过程中，切向动量不变，法向方向相反，因此有P_r＝‑P_i，公式(1.3)可以简化为：P＝σ_tP_i            (0.4)P_i可以表示为：公式(1.2)和(1.5)中的分布函数f满足Boltzmann方程，这里采用由Chapman和Cowling给出的f关于Kn数的一阶近表达式：$f=n{\left(\frac{m}{2\mathrm{\πkT}}\right)}^{\frac{3}{2}}{e}^{-\frac{m}{2\mathrm{kT}}({U_k}^2+{V_k}^2+{W_k}^2)}[1-\frac{{4k}_c{\mathrm{\β}}^2}{5\mathrm{nk}}({\mathrm{\β}}^2{C}^2-\frac{5}{2})C_i\frac{\∂}{\∂x_i}\ln T-\frac{4\mathrm{\μ}{\mathrm{\β}}^4}{\mathrm{\ρ}}{C_i}^o{C}_j\frac{{\∂c}_i}{{\∂x}_j}]---\left(0.6\right)$其中，n是分子的数密度，k是Boltzmann常数,k_c是热传导系数,R是气体常数，(C₁,C₂,C₃)＝(U_k,V_k,W_k),(x₁,x₂,x₃)＝(x_k,y_k,z_k),(c₁,c₂,c₃)＝(u_k,v_k,w_k)，C_i^oC_j＝C_iC_j‑C²δ_ij/3；3)把公式(1.6)带入(1.2)和(1.5)，并对U_k、V_k和W_k进行积分，可得：$P=\mathrm{\μ}(\frac{{\∂u}_k}{{\∂y}_k}+\frac{{\∂v}_k}{{\∂x}_k})---\left(0.7\right)$$P_i=[1+\frac{2\mathrm{\μ}{\mathrm{\β}}^2}{3\mathrm{\ρ}}(\frac{{\∂u}_k}{{\∂x}_k}-2\frac{{\∂v}_k}{{\∂y}_k}+\frac{{\∂w}_k}{{\∂z}_k})]\frac{n\stackrel{\‾}{c}}{4}m{u}_s+\frac{1}{2}\mathrm{\μ}(\frac{{\∂u}_k}{{\∂y}_k}+\frac{{\∂v}_k}{\∂x_k})-\frac{k_{c}m}{10\mathrm{kT}}\frac{1}{{\mathrm{\β\π}}^{1/2}}\frac{\∂T}{{\∂x}_k}---\left(0.8\right)$把公式(1.7)、(1.8)带入(1.4)可得：$\mathrm{\μ}(\frac{{\∂u}_k}{{\∂y}_k}+\frac{{\∂v}_k}{\∂x_k})={\mathrm{\σ}}_t\{\frac{1}{2}\mathrm{\μ}(\frac{{\∂u}_k}{{\∂y}_k}+\frac{{\∂v}_k}{{\∂x}_k})+[1+\frac{2{\mathrm{\μ\β}}^2}{3\mathrm{\ρ}}(\frac{{\∂u}_k}{{\∂x}_k}-2\frac{{\∂v}_k}{{\∂y}_k}+\frac{\∂w_k}{{\∂z}_k})\left]n\sqrt{\frac{\mathrm{RT}}{2\mathrm{\π}}}{\mathrm{mu}}_{\mathrm{sk}}\right\}---\left(0.9\right)$根据上式，进行简单的代数运算，即可得到滑移速度：$u_{\mathrm{sk}}=\frac{2\mathrm{\σ}}{{\mathrm{\σ}}_t}\mathrm{\λ}\frac{\frac{{\∂u}_k}{\∂y_k}+\frac{{\∂v}_k}{{\∂x}_k}}{1+\frac{\mathrm{\μ}}{3p}(\frac{{\∂u}_k}{{\∂x}_k}-2\frac{{\∂v}_k}{{\∂y}_k}+\frac{{\∂w}_k}{{\∂z}_k})}+\frac{3}{4}\frac{\mathrm{\μ}}{\mathrm{\ρT}}\frac{\∂T}{{\∂x}_k}---\left(0.10\right)$公式中，与Maxwell滑移模型相比，分子上的也可以根据壁面处的切向剪切应力得到，分母上多出的项代表y_k方向的剪切应力与静压强的比值，可以被忽略，公式(1.10)给出的滑移速度u_sk是局部坐标系下的结果，总体坐标系下的滑移速度(u_s,v_s,w_s)可以通过坐标变换的原理得到：$\begin{array}{c}{u}_s=\frac{2-{\mathrm{\σ}}_t}{{\mathrm{\σ}}_t}\mathrm{\λ}\left\{\frac{\∂}{\∂y_k}\right[(1-{l_k}^2)u-l_k{m}_{k}v-l_k{n}_{k}w]+(1-{l_k}^2)\frac{{\∂v}_k}{\∂x}-l_k{m}_k\frac{{\∂v}_k}{\∂y}-l_k{n}_k\frac{\∂v_k}{\∂z}\}\\ +\frac{3}{4}\frac{\mathrm{\μ}}{\mathrm{\ρT}}[(1-{l_k}^2)\frac{\∂T}{\∂x}-l_k{m}_k\frac{\∂T}{\∂y}-l_k{n}_k\frac{\∂T}{\∂z}]\end{array}$$\begin{array}{c}{v}_s=\frac{2-{\mathrm{\σ}}_t}{{\mathrm{\σ}}_t}\mathrm{\λ}\left\{\frac{\∂}{\∂y_k}\right[(1-{m_k}^2)v-l_k{m}_{k}u-m_k{n}_{k}w]+(1-{m_k}^2)\frac{{\∂v}_k}{\∂y}-l_k{m}_k\frac{\∂v_k}{\∂x}-m_k{n}_k\frac{{\∂v}_k}{\∂z}\}\\ +\frac{3}{4}\frac{\mathrm{\μ}}{\mathrm{\ρT}}[(1-{m_k}^2)\frac{\∂T}{\∂y}-l_k{m}_k\frac{\∂T}{\∂x}-m_k{n}_k\frac{\∂T}{\∂z}]\end{array}---\left(0.11\right)$$\begin{array}{c}{w}_s=\frac{2-{\mathrm{\σ}}_t}{{\mathrm{\σ}}_t}\mathrm{\λ}\left\{\frac{\∂}{\∂y_k}\right[(1-{n_k}^2)w-l_k{n}_{k}u-m_k{n}_{k}v]+(1-{n_k}^2)\frac{{\∂v}_k}{\∂z}-l_k{n}_k\frac{\∂v_k}{\∂x}-m_k{n}_k\frac{{\∂v}_k}{\∂y}\}\\ +\frac{3}{4}\frac{\mathrm{\μ}}{\mathrm{\ρT}}[(1-{n_k}^2)\frac{\∂T}{\∂z}-l_k{n}_k\frac{\∂T}{\∂x}-m_k{n}_k\frac{\∂T}{\∂z}]\end{array}$公式中，v_k＝l_ku+m_kv+n_kw，对于等温流体，公式中与温度相关的热蠕动项可以忽略，在有限体积法中，以公式(1.11)代替无滑移速度边界条件，即得到了适用于复杂几何边界的气体滑移流动的计算方法。