[发明专利]基于加窗四谱线插值FFT的谐波快速分析方法及系统

摘要

本发明公开了一种基于加窗四谱线插值FFT的谐波快速分析方法及系统，涉及谐波分析领域。该方法包括以下步骤信号预处理；确定四根谱线；计算四谱线插值算法的修正公式；计算基波参数；四谱线插值快速算法；确定谐波参数；进行误差分析。本发明从电力系统的电网信号加窗后的频域表达式入手，根据窗函数主瓣内任意相邻谱线相位相差π的规律，推导出加窗FFT后的真实谱线点附近最大的四根谱线之间的相位规律，提出一种加窗四谱线插值FFT快速算法。相对于双谱线和三谱线插值算法，本发明能有效提高谐波分析的精度；利用该快速算法，计算某次谐波仅需要1次模的运算，能够有效降低计算量和计算时间，显著提升计算速度。

主权项

一种基于加窗四谱线插值FFT的谐波快速分析方法，其特征在于，包括以下步骤：S1、信号预处理：互感器采集电网信号，将互感器采集到的离散电网信号x(n)，传输到上位机，n为采样点的序数，n为自然数；采用离散余弦窗函数w(n)，对电网信号x(n)进行加窗截断，得到加窗信号xw(n)：xw(n)＝x(n)w(n)   (1)离散余弦窗函数w(n)的表达式为：w(n)=Σm=0M-1(-1)mbmcos(2πmNn)---(2)]]>其中，N为采样点数，N为正整数，n＝0,1,2...N‑1；Σ表示求和；m为窗函数的累加次数，m＝0,1,2...M‑1；M为窗函数项数，M为正整数；bm为窗函数系数；对公式(1)的加窗信号进行FFT变换后，得到加窗FFT频谱：其中，W(·)为窗函数的频谱，k为正整数，X(k)表示第k次谐波的频谱，Ak为第k次谐波的幅值，j表示虚数单位，e是自然对数的底数，为第k次谐波的初始相位，第一次谐波为基波，fs为采样频率，f0为基波频率，Δf为离散频率间隔，且Δf＝fs/N；令：k0＝f0/Δf，k0为真实频谱的谱线位置；忽略负频率点处旁瓣的影响，公式(3)变为：S2、确定四根谱线：在步骤S1得到的加窗FFT频谱峰值附近区域，k0处频率点左右各两条的谱线分别为：第k1、k2、k3、k4根，k1、k2、k3、k4均为正整数，k1、k2、k3、k4的关系为：k2＝k1+1，k3＝k2+1，k4＝k3+1，这四根谱线对应的幅值分别为y1、y2、y3、y4；记变量α＝k‑k2‑0.5，由于0≤k‑k2≤1，则‑0.5≤α≤0.5；记变量β=y4+3y3-3y2-y1y4+3y3+3y2+y1---(5)]]>S3、计算四谱线插值算法的修正公式：根据公式(4)和(5)得到：β=|W(-α+1.5)+3|W(-α+0.5)|-3|W(-α-0.5)|-|W(-α-1.5)||W(-α+1.5)+3|W(-α+0.5)|+3|W(-α-0.5)|+|W(-α-1.5)|---(6)]]>采用多项式逼近方法，计算奇函数β＝g‑1(α)，表达式为：α≈p11×β+p13×β3+...+p1pβp---(7)]]>p11，p13；…p1p为多项式逼近的奇次项系数，p是奇数；根据公式(4)，求得电网信号第i次谐波的幅值Ai：Ai=2yi|W(k-f0Δf)|---(8)]]>其中，i为正整数，yi为加窗FFT后第i次谐波的幅值；考虑到y2、y3是离真实谱线点最近的两根谱线，基波幅值A1为：A1=2(y4+3y3+3y2+y1)|W(-α+1.5)+3|W(-α+0.5)|+3|W(-α-0.5)|+|W(-α-1.5)|---(9)]]>根据公式(7)的逼近方法，N＞1000时，窗函数系数为实系数，公式(9)表示为：A1＝N‑1(y4+3y3+3y2+y1)u(α)，其中，u(α)为修正公式，且为偶函数，逼近多项式不含奇次项；四谱线修正公式为：u(α)＝(p20+p22α2+…+p2dαd)   (10)公式(10)中，p20,p22…p2d为多项式逼近的偶次项系数，d为拟合的最高阶次，且d为偶数；S4、计算基波参数：计算基波频率f0、基波幅值A1：f0＝k·Δf＝(k2+α+0.5)Δf   (11)A1＝N‑1(y4+3y3+3y2+y1)(p20+p22α2+…+p2dαd)   (12)根据公式(4)，得出基波的相位：仿照基波参数的求取，根据公式(6)、(7)、(11)、(12)、(13)，进行各次谐波参数的分析；考虑到其中大量窗函数的离散傅里叶分析，其表达式为：W(k)=sin(πk)e-jπk[Σm=0M-1(-1)mbm2sin(km)sin(πN(j-m))sin(πN(k+m))]---(14)]]>由于N>>1，得到：|W(k)|=Nsin(πk)πΣm=0M-1(-1)mbmk2-m2]arg(W(k))=(-π+πN)k---(15)]]>S5、加窗四谱线插值快速算法：根据公式(5)和(12)，计算变量β和幅值A1的时候，需求出(y4+3y3+3y2+y1)：令变量：T1=X(k4)-3X(k3)-3X(k2)+X(k1)T2=X(k4)-3X(k3)+3X(k2)-X(k1)---(16)]]>根据公式(4)，得到：根据公式(13)，得到：arg(W(k))＝‑kπ   (18)将公式(17)代入公式(16)，得到：分析得出：X(k1)与X(k3)同相位，X(k2)与X(k4)同相位；且X(k1)与X(k2)，X(k2)与X(k3)，X(k3)与X(k4)之间的相位之差均为π，那么：arg(T1)=arg(X(k1))arg(T2)=arg(X(k2))---(22)]]>令：其中，C为T1的模，D为T2的模；则：β=|T1T2|=CD=Re(T1)Re(T2)=Im(T1)Im(T2)---(24)]]>其中：Re表示取实部，Im表示取虚部；分析得出：计算各次谐波的参数时，仅在计算幅值Ak的时候，需要进行一次求模运算；根据公式(5)计算变量β时，利用T1和T2的实部或虚部进行快速计算；同理，根据同一个主瓣相邻4根谱线的相位关系，求最大谱线时，直接利用插值前FFT运算结果的实部和虚部来寻求最大的向量；S6、确定谐波参数：确定基波频率f0后，在范围(kf0‑5,kf0+5)内重复步骤S2～S5，直到所有谐波参数计算完毕；S7、进行误差分析：在同样窗函数条件下，分析加窗四谱线插值快速算法的误差，并与双谱线算法的误差、三谱线插值算法的误差进行比较。