[发明专利]一种云外包解大规模线性方程组的方法

摘要

本发明公开了一种云外包解大规模线性方程组的方法，这是一种基于初等变换矩阵的非交互的云外包计算方案。初等变换矩阵具有比较低的计算复杂度，每次初等变换矩阵的乘积都只消耗O(n)的时间复杂度。加密一个普通的n阶矩阵，只需要n个初等变换矩阵，即可加密矩阵中的每一个元素。解大规模线性方程组问题可以写为Φ:Ax＝b，其中A是一个n×n的可逆矩阵，x,b是一个n×1的向量。在外包解大规模线性方程组的协议中，需要保护参数A,b与结果x的隐私。本发明利用初等变换矩阵对参数A,x,b进行加密处理，从而提高了降低了客户端处理问题的复杂度，设计出了客户端只需要O(n²)复杂度的协议，提高了计算效率。同时，本发明是一种非交互协议，客户端无需在问题求解阶段与服务器进行交互，只需要提交计算请求，即可获得外包计算结果。

主权项

1.云外包解大规模线性方程组的方法，是客户端的计算能力无法对大规模线性方程组进行求解的情况下，采用外包的方式，对线性方程组进行加密，交给第三方服务器进行计算，服务器对加密后的问题进行处理，返回加密的结果给客户端，客户端对结果进行加密和验证，其特征在于以下步骤：(1)密钥生成KeyGen(n)→(SK)，客户端根据原始方程组Φ:Ax＝b中矩阵A的阶n，来生成密钥SK，并保证密钥SK仅被客户端知道：1)客户端根据矩阵的阶n，生成两个1,2,…,n的置换π1,π2；2)根据置换π1,π2，客户端随机选取2n个随机整数值r1,r2,…r2n，然后根据公式1和公式2得到2n个n×n初等变换矩阵Ak,Bk,1≤k≤n：3)令P1＝A1A2…An，P1‑1＝An‑1An‑1‑1…A1‑1，P2＝B1B2…Bn，P2‑1＝Bn‑1Bn‑1‑1…B1‑1；4)密钥为SK＝P1,P2,π1,π2,r1,…,r2n,A,b；(2)问题加密LEEncrypt(Φ,SK)→(Φ')，客户端根据密钥生成阶段生成的密钥SK对原始问题Φ:Ax＝b进行加密，加密方式如下：1)客户端对原始问题Φ:Ax＝b进行加密得到Φ':A'x'＝b'；其中，A'＝P1AP2，x'＝P2‑1x，b'＝P1b；2)客户端将加密后的问题Φ':A'x'＝b'发送给服务器，客户端只需要将参数A',b'发送给服务器即可；(3)问题求解LESolve(Φ')→(x')，服务器拿到客户端的加密问题Φ':A'x'＝b'之后，利用常规线性方程组求解方法对加密问题进行求解：1)服务器拿到问题Φ':A'x'＝b'之后，求解线性方程组问题；2)服务器得到问题的结果x'之后，将他们返回给客户端；(4)问题解密LEDecrypt(x',SK)→(x1)：客户端根据密钥P1,P2,A,b和从服务器返回的结果x'，计算x1＝P2‑1x'，因为P2‑1是一系列初等矩阵的乘积，因此该步骤的计算也只需要O(n2)的时间复杂度；(5)结果验证ResultVerify(SK,x1)→(x∪⊥)：如果Ax1＝b，代表服务器确实对加密后的问题进行了解密，并且返回了正确的结果x'，客户端输出x＝x1；反之，输出⊥。