[发明专利]采用序列幂函数插值方法实现结构多材料拓扑优化的方法

摘要

本发明涉及一种采用序列幂函数插值方法实现结构多材料拓扑优化的方法，属于工程结构优化设计领域。包括建立连续体结构的参数化有限元模型；基于有限元模型建立多材料拓扑优化数学模型；构造以密度为自变量的单元弹性模量和材料费用的序列幂函数插值模型；求出目标函数、弹性模量、质量函数、费用函数和单元材料费用等响应的灵敏度信息；根据Kuhn‑Tucker条件导出优化准则。与已有的多材料拓扑优化方法相比，序列幂函数插值方法只需要较小的计算量就可以得到高刚度、低费用和轻量化的拓扑结构，并且计算量与所考虑的材料种类数无关。除此之外，本发明还考虑了材料费用约束，使得最后得到的结构不仅刚度大、质量轻，而且材料费用不会增加。

主权项

1.一种采用序列幂函数插值方法实现结构多材料拓扑优化的方法，其特征在于：包括步骤如下：步骤一、建立连续体结构的参数化有限元模型；步骤二、基于有限元模型建立多材料拓扑优化数学模型；步骤三、构造以密度为自变量的单元弹性模量和材料费用的序列幂函数插值模型；步骤四、求出目标函数、弹性模量、质量函数、费用函数和单元材料费用的灵敏度信息；步骤五、根据Kuhn‑Tucker条件导出优化准则；其中，步骤二所述的基于有限元模型建立多材料拓扑优化数学模型是：在结构质量与材料费用的约束下，实现结构的高刚度目标，其优化数学模型如下：该优化数学模型以结构应变能c为目标函数，而结构应变能c是评价刚度的标量，应变能越小，刚度越大；K，u和P分别是相应结构的有限元总体刚度矩阵，位移向量和节点力向量；k0和ue分别是不含弹性模量因子的单元刚度矩阵及位移向量；ρe代表第e个单元的材料密度，即拓扑优化设计变量；Ee和Ce是第e个单元的弹性模量和材料费用，由ρe通过相应的插值公式，即式(3)至式(8)得到；Ve是第e个单元的体积，二维问题中代表面积，M和C是当前所设计的结构的质量和费用，N为设计变量的个数，同时也是单元个数，M0和C0是设计域内充满材料时的质量和费用；εM和εC是给定的质量和费用系数，ρmin是给定的最小非零密度值来避免结构刚度矩阵的奇异性；优化数学模型增加了材料的费用约束，除了考虑多种材料弹性模量对结构拓扑形状的影响之外，同时也考虑了材料费用对结构拓扑形状的影响；步骤三所述的构造以密度为自变量的单元弹性模量和材料费用的序列幂函数插值模型是：首先将所有候选材料的密度变量归一化[0，1]区间上ρi＝ρiT/ρmax(i＝1,2,…,m)                         (2)其中ρiT是第i种材料的实际密度，ρi是归一化后第i种材料的相对密度，ρmax是可选材料中密度的最大值，m是材料种类数；已建立的优化数学模型要求结构刚度大、质量轻，因此对于弹性模量我们构造出一种下凸的幂函数p为惩罚因子，是一个人为给定的常数；对于ρe∈[ρi,ρi+1]，AE和BE由下式给出BE＝Ei‑AEρip                              (5)Ei和Ei+1分别是排序后的第i和i+1种材料的弹性模量；对于临时的中间密度，如果迭代过程中密度稍微增大，弹性模量就会显著增大；如果密度减小，弹性模量不会显著减小，总体效果使得结构的刚度更大而质量更小；相应地对于材料费用我们构造出一种上凸的幂函数Ce(ρe)＝ACρe(1/p)+BC,ρe∈[ρmin,1],p＞1                   (6)其中对于ρe∈[ρi,ρi+1]，未知系数AC和BC由下式确定BC＝Ci‑ACρi(1/p)                             (8)Ci和Ci+1分别是排序后的第i和i+1种材料的费用；对于临时的中间密度，如果迭代过程中密度稍微增大，材料费用不会显著增加；如果密度减小，材料费用会显著减小，总体效果使得结构的刚度更大而材料费用更小；这样可以将临时的中间密度惩罚掉，使材料变量趋于插值点处离散的候选材料。