[发明专利]一种弹性板结构的振动分析方法

摘要

一种弹性板结构的振动分析方法，包括以下步骤：利用卡诺高阶截取技术对弹性板结构厚度方向位移进行拟合；采用二维改进傅里叶级数对弹性板结构面内位移进行全求解域展开；由弹性板结构截面面内位移和轴向位移计算得到弹性板结构的整体位移；计算弹性板结构的应变向量和应力向量；计算弹性板结构的应变能和动能方程，设置虚拟弹簧边界从而获取边界能；建立结构拉格朗日能量泛函，计算得到弹性板结构的核心质量矩阵和刚度矩阵；通过迭代循环核心矩阵求得整体的质量矩阵、刚度矩阵和结构的特征方程；计算弹性板结构的固有频率，根据特征向量输出结构的振型。本发明方法适用于多形状、多边界条件的弹性板结构，且精度高、收敛快、计算成本低。

主权项

一种弹性板结构的振动分析方法，其特征在于，包括如下步骤：步骤一.利用卡诺高阶截取技术对弹性板结构厚度方向位移进行拟合，拟合形式如下：其中，x,y和z为空间坐标系的坐标，Φ(x,y,z)为弹性板结构的整体位移，表示弹性板结构面内位移，i＝1,2,…,N+1，Fi为泰勒展开式中的第i项，h为弹性板的厚度，N为泰勒展开的阶次；Φ取U,V,W，相应取u,v,w分别对应x，y和z三个方向上的位移分量；步骤二.采用二维改进傅里叶级数对弹性板结构面内位移进行全求解域展开，具体形式如下：其中和为相应展开项的系数，λm＝mπ/L1和λp＝pπ/L2，L1和L2分别为结构在x和y方向的结构几何尺寸；M，P为截断项数；Xm和Yp分别为x和y的函数，为相应项的系数，ξk(x)和ηg(y)为补充函数，补充函数表达式为：ξk(x)=x(xL1-1)2k=1x2L1(xL1-1)k=2ηg(y)=y(yL2-1)2g=1y2L2(yL2-1)g=2]]>步骤三.由弹性板结构截面面内位移和轴向位移计算弹性板结构的整体位移，具体表达式如下：U(x,y,z)=Σm=1M+3Σp=1P+3Σi=1N+1AmpiXmYpFiV(x,y,z)=Σm=1M+3Σp=1P+3Σi=1N+1BmpiXmYpFi]]>其中，U(x,y,z)，V(x,y,z)和W(x,y,z)分别对应空间坐标x，y和z三个方向上的位移分量，Ampi，Bmpi和Cmpi为位移分量中相应项的系数；步骤四.计算弹性板结构的应变向量和应力向量；所涉及弹性板结构的应变向量的表达式为：ε＝[εx,εy,εz,γxy,γyz,γxz]T其中，ε表示弹性板结构的应变向量；上标T表示转置；εx，εy和εz为正应变分量；γxy，γyz和γxz为切应变分量，且有所涉及应力向量的表达式为：σ＝Dε其中，σ表示弹性板结构的应力向量，D为结构材料系数矩阵；步骤五.计算弹性板结构的应变能和动能方程，并设置虚拟弹簧边界从而获取边界能，具体表达式如下：Vp=12∫0L2∫-h2h2(kx0uU(x,y,z)2+kx0vV(x,y,z)2+kx0wW(x,y,z)2)|x=0+(kxL1uU(x,y,z)2+kxL1vV(x,y,z)2+kxL1wW(x,y,z)2)|x=L1dzdy+12∫0L1∫-h2h2(ky0uU(x,y,z)2+ky0vV(x,y,z)2+ky0wW(x,y,z)2)|y=0+(kyL2uU(x,y,z)2+kyL2vV(x,y,z)2+kyL2wW(x,y,z)2)|y=L2dzdx]]>其中，Vs，Tp和Vp分别为弹性板结构的应变能，动能和边界能；t表示时间，ρ为材料的密度；和为板面内x方向x＝0端所设的虚拟弹簧边界，和为板面内x方向另一端x＝L1处所设的虚拟弹簧边界；和为板面内y方向y＝0端所设的虚拟弹簧边界，和为板面内y方向另一端y＝L2处所设的虚拟弹簧边界；步骤六.建立结构拉格朗日能量泛函Ω＝Vs+Vp‑Tp，然后对其中的系数Ampi，Bmpi和Cmpi求偏导并令其结果为零，计算得到弹性板结构的核心质量矩阵和刚度矩阵；核心矩阵中的元素如下：其中Kmnpqij为核心刚度矩阵，Mmnpqij为核心质量矩阵，上角标a，b和c为核心矩阵中元素的标号；下角标m,n＝1,…,M+3；p,q＝1,…,P+3；i,j＝1,…,N+1；X′m，Y′p和F′i分别表示Xm，Yp和Fi的一阶导数，同理X′n，Y′q和F′j分别表示Xn，Yq和Fj的一阶导数；D11,…,D66为结构材料系数矩阵D中的元素；步骤七.通过迭代循环核心矩阵求得整体的质量矩阵、刚度矩阵以及总体质量矩阵M，进而得到结构的特征方程；所述质量矩阵和刚度矩阵的求解方法为：指针i，j由1取到N+1循环核心刚度矩阵Kmnpqij得到子子矩阵Kmnpq，指针p，q由1取到P+3循环子子矩阵Kmnpq得到子矩阵Kmn，指针m，n由1取到M+3循环子矩阵Kmn得到总体刚度矩阵K；所述结构的特征方程表达式为：(K‑ω2M)A＝0其中ω为圆频率，A为对应ω的特征向量；步骤八.计算弹性板结构的固有频率，根据特征向量输出结构的振型。