[发明专利]一种倒立摆自适应迭代学习反演控制方法

摘要

一种倒立摆自适应迭代学习反演控制方法,针对含有未知输入饱和的倒立摆系统，利用神经网络和反演控制方法，结合自适应迭代学习控制，设计一种自适应迭代学习反演控制器。积分李雅普诺夫函数的构建解决了由于未知增益函数求导引起的控制问题。基于中值定理，采用双曲正切函数逼近输入饱和项。然后，采用径向基神经网络逼近和补偿系统不确定未知项，并采用两个组合自适应律更新神经网络的权值和估计误差的界。本发明在系统存在输入饱和的情况下，提供了一种能补偿系统未知不确定性，解决由于未知增益函数求导引起的控制问题，实现系统跟踪误差在有限迭代次数内二范数收敛到零附近的控制方法。

主权项

1.一种倒立摆自适应迭代学习反演控制方法，其特征在于，所述控制方法包括以下步骤：步骤1，建立倒立摆的动态模型，初始化系统状态、采样时间以及控制参数，过程如下：1.1 倒立摆的动态模型表达形式为：其中x_1,k，x_2,k分别是角度位置和角速度，k是迭代次数；分别是角度位置和角速度的一阶导数；g是重力加速度；m_c，m是分别是小车和倒立摆的质量；l是倒立摆长度的一半；u_k表示控制输入，sat(u_k)表示受饱和限制的控制输入，其表达形式为：其中u_m是u_k的最大值，|u_k|表示u_k的绝对值，sgn(u_k)表示u_k的符号函数；1.2 定义未知函数f(x_k)和b(x_k)，将式(1)写成以下形式：其中是未知的光滑函数；x_k＝[x_1,k,x_2,k]^T；从b(x_k)的表达式中得到b(x_k)＞0；步骤2，逼近和估计输入饱和项，其过程如下：采用以下的双曲正切函数逼近输入饱和函数：其中tanh(·)表示双曲正切函数；由此得sat(u_k)＝g(u_k)+d(u_k)                     (5)其中d(u_k)是一个有界函数，满足|d(u_k)|＝|sat(u_k)‑g(u_k)|≤u_m(1‑tanh(1))＝D            (6)其中D是一个未知正数，|d(u_k)|表示d(u_k)的绝对值；通过微分中值定理计算，得出其中u_ξ＝ξu_k+(1‑ξ)u₀，u₀∈[0,u_k]；0＜ξ＜1是一个常数；是u_k＝u_ξ时对g(u_k)的偏导，取u₀＝0，g(u₀)＝0；则公式(7)写为：将公式(8)代入到公式(5)中，得步骤3，计算系统跟踪误差，其过程如下：定义系统跟踪误差z_1,k如下：z_1,k＝x_1,k‑x_d                     (10)其中x_d是给定的光滑有界的参考轨迹；对公式(10)求导得到：其中是系统跟踪误差的一阶导数，是参考轨迹的一阶导数；步骤4，定义误差变量，设计虚拟控制器，其过程如下：4.1 定义误差变量z_2,k为：z_2,k＝x_2,k‑α_1,k                    (12)其中，α_1,k是设计控制器过程中的虚拟控制器；系统初始条件为：z_1,k(0)＝0，z_2,k(0)＝0；对式(12)进行求导，得到：其中是误差变量的一阶导数，是设计控制器过程中虚拟控制器的一阶导数；将式(3)，式(9)代入式(11)和式(13)中，得到：由此，计算：其中由于0＜g_uξ≤1，则必定存在一个正的常数g_N使得成立；然后，得出是有界的，并且其中表示的绝对值，ρ_D是一个大于零的常数；4.2 为逼近函数设计以下神经网络：定义W^*为神经网络理想权重矩阵，则写成以下形式：其中W^*T＝W^*，是神经网络的输入向量，是参考轨迹的二次导数，ε_k是神经网络的逼近误差且满足|ε_k|≤σ_N，|ε_k|表示ε_k的绝对值，σ_N是|ε_k|的上界，是一个正的常数，Φ(X_k)＝[φ₁(X_k),φ₂(X_k),…,φ_m(X_k)]^T是神经网络的基函数，m为神经元的个数，φ_i(X_k)的形式如下所示：其中ι_i和υ_i分别是高斯函数的中心和宽度，i＝1,…,m，其中exp(·)是指数函数；4.3 设计神经网络权值和估计误差更新律：其中γ₁，γ₂，β₁，β₂都是合适的参数，分别表示在第k和k‑1次迭代时对W^*和σ_N的估计，是和的一阶导数，δ是一个正的常数；给定4.4 设计虚拟控制器和实际控制器，如下所示：其中c₁，c₂是正常数，4.5 把式(18)，式(22)和式(23)代入到式(15)和式(16)中，得：其中步骤5，构造李雅普诺夫函数V_k(t)与类李雅普诺夫函数E_k(t)，分析系统性能，其过程如下所示：其中对V_k(t)求导，并将式(24)，(25)代入，得到：其中和分别是和的一阶导数；将(17)代入(28)，得到：其中|z_2,k|表示z_2,k的绝对值；然后，写为：其中将(20)，(21)代入(30)，得：采用双曲正切函数的以下性质：0≤|z_2,k|‑z_2,ktanh(z_2,k/δ)≤0.2785δ；         (32)将式(32)代入(31)，得到：对式(27)求导，得到：在初始迭代k＝0时，和则由此得到：对式(35)两侧同时进行积分运算，得到：可以看出在[0,T]中是有界的；在初始条件的选择下，V₀(0)也是有界的；得出E₀(t)是有界的，即E_k(t)在第k次迭代的差分形式为：其中V_k‑1(t)和E_k‑1(t)分别是第k‑1次的李雅普诺夫函数和类李雅普诺夫函数；将式(33)代入(38)中，得到结合得到：其中T表示倒立摆系统的迭代周期；c_m＝min{c₁,c₂}表示取c₁，c₂的最小值；表示一个正的常数；z_r,k，r＝1,2表示误差变量；对ΔE_k(T)有限迭代次数的累加得到：其中E_k(T)表示第k次迭代，t＝T时的类李雅普诺夫函数；E₀(T)表示k‑1，t＝T时的类李雅普诺夫函数；将(40)代入到(41)，写成：从(42)得出：其中表示z_r,k，r＝1,2的二范数形式；则判定对于任意给定常数都存在一个正的有限迭代次数k₀，对于k＞k₀，使得成立；也就是说，系统跟踪误差z_1,k在二范数的意义上在有限迭代次数内收敛到零附近的领域内。